Blog del Profesor Eloy Morales, del Instituto de Enseñanza Secundaria La Minilla, dedicado a la ayuda de su alumnado durante el curso 2016/2017 en su proceso de enseñanza y aprendizaje.
Además de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinómicas con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática.
Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma:
y = ax^2 + bx + c,
donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.
Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.
Veamos en el siguiente video cómo representamos las funciones cuadráticas, llamadas parábolas.
En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:
f(x) = mx + n
donde "m" y "n" son números reales y "x" es una variable real. La constante "m" es lo que se denomina la pendiente de la recta, y "n" es el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas, es decir el (0,n).
Si se modifica "m" entonces se modifica la "inclinación" de la recta, y si se modifica "n", entonces la línea se desplazará "hacia arriba o hacia abajo", en el sistema de ejes de coordenadas.
En algunos libros llaman función lineal a aquella con n = 0 de la forma:
f(x) = mx
(se caracteriza porque pasa por el origen de coordenadas)
mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
f(x) = mx + n
(se caracteriza porque nunca pasa por el origen de coordenadas)
En el siguiente video podrás ver como se representa en un sistema de ejes de coordenadas este tipo de funciones.
La Programación Lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada Función Objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales.
El método tradicionalmente usado para resolver problemas de programación lineal es el Método Simplex. La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución.
Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.
En el siguiente video podrás ver una explicación sobre cómo resolvemos un problema de programación lineal.
Si "picas" en la siguiente imagen podrás acceder a una presentación en PowerPoint, explicando el método de resolución de un PPL (Problema de Programación Lineal).
Próximamente vamos a empezar a ver la representación gráfica de rectas y parábolas. Para ello es necesario que sepas manejar perfectamente la colocación de puntos en el plano, para ello se utilizan los sistemas de ejes de coordenadas.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto en el plano.
Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
En el siguiente video podrás ver cómo utilizamos el sistema de ejes de coordenadas y como podemos representar cualquier punto de un plano en él.
Para resolver este tipo de indeterminaciones realizaremos un procedimiento que se basa en que se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.
Podemos recordar una regla práctica, que consiste en que:
1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.
2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
3. Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.
Veamos una explicación sobre lo explicado anteriormente en los siguientes videos:
En los siguientes videos podrás ver cómo se resuelven las indeterminaciones de la forma 0/0.
Como los hemos trabajado en clase, intenta resolverlos antes de terminar de ver el video, si lo consigues resolver bien, significa que has aprendido el procedimiento y si has tenido algún error, te servirá para mejorar y terminar de dominar el procedimiento que se sigue para quitar este tipo de indeterminación.
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
<
menor que, por ejemplo: 5x − 2 < 9
≤
menor o igual que, por ejemplo: 12 ≤ 2x + 5
>
mayor que, por ejemplo: 4x + 3 (x - 1) > 9
≥
mayor o igual que, por ejemplo: 2x +1 ≥ 7
Veamos el procedimiento de resolución de las Inecuaciones de primer grado con una incógnita:
1º Quitar corchetes y paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en "x" a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 4º Efectuar las operaciones
5º Si el coeficiente de la "x" es negativo y va a pasar dividiendo, cambiaremos el sentido de la desigualdad (multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad).
6º Despejamos la incógnita. 7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.
El procedimiento de resolución de las Inecuaciones de segundo grado con una incógnita lo veremos a través de los siguientes videos:
En el siguiente enlace tienes un material publicado por el Ministerio de Educación, que aborda todos los contenidos que veremos dentro del Tema de las Inecuaciones, en formato pdf, por lo que puedes guardarlo en tu ordenador. Puedes acceder a él, "picando" en la siguiente imagen.
Este método de resolver sistemas de ecuaciones se basa en los Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones, que podríamos resumir en:
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
La clave para resolver estos sistemas es seguir el orden para hacer los ceros. Esto se llama escalonar el sistema.
1º Hacemos cero la x de la segunda ecuación reduciendola con la primera ecuación.
2º Hacemos cero la x de la tercera ecuación reduciendola con la primera ecuación.
3º Hacemos cero la y o la z de la tercera ecuación jugando con la segunda y la tercera ecuación.
4º Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones.
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Puedes ver, además de los ejercicios que hemos hecho en clase, el procedimiento de resolución de este tipo de ecuaciones.
Si quieres resolver más ecuaciones exponenciales, "pincha" en la siguiente imagen, donde se incluyen las soluciones, y como siempre, ¡¡inténtalo tu primero!!:
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.
La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
Por ejemplo,
Las soluciones serán: x = 2, y = 3, ya que, si sustituimos la "x" por el valor 2 y la "y" por el valor 3, obtendremos una igualdad (cualquier otro valor que le demos a la "x" o a la "y" no verifica las dos ecuaciones dadas) :
Existen tres métodos para resolver los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, veamos cada uno de ellos:
Método de sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Metodo de igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Metodo de Reducción
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Estos procedimientos lo emplearemos en resolver problemas como el de la siguiente imagen...
Resolver una ecuación logarítmica consiste en determinar para qué valores de la incógnita (x) la igualdad se convierte en identidad.
Es importante conocer las propiedades de los logaritmos para poder resolver estas ecuaciones, que se convierten normalmente en otra ecuación de primer o segundo grado.
Te recuerdo la definición de logarítmo:
y las propiedades, que hemos trabajado, de los logaritmos:
Es importante comprobar la solución en la ecuación de partida porque recordarán que no existen los logaritmos de los números negativos.
En los siguientes videos, veras cómo se resuelven algunas ecuaciones logarítmicas.
Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.
Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.
¿Qué es un problema?
Quizás hayas pensado que siempre en la clase de matemáticas has resuelto problemas. Pues te digo que no, la mayoría de las veces, en clase, se resuelven y se hacen ejercicios. Veamos las diferencias entre Ejercicios y Problemas.
EJERCICIOS
De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
Proponen tareas perfectamente definidas.
PROBLEMAS
Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.
Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.
ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR
Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones:
La actitud inicial es importante
Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?
Ten confianza en tus capacidades
Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.
Sé paciente y constante
No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.
Concéntrate en lo que haces
Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.
Busca el éxito a largo plazo
Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.
Aquí te dejo unos cuantos videos donde se plantean problemas y que se resuelven aplicando ecuaciones de primer grado, y cómo no, pensando y razonando al plantear las ecuaciones necesarias. Intenta plantear tú la ecuación, poniendo pausa en el video, y después comprueba tus errores o aciertos.
Una funciónf(x) es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:
1.- No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
2.- No existe el límite de f en el punto x = a:
3.- La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes:
Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:
Discontinuidad evitable
Discontinuidad inevitable
Discontinuidad esencial
Discontinuidad evitable
Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Existe el límite en a y éste es finito.
La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.
Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad evitable, picando AQUÍ.
Discontinuidad inevitable
Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:
Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.
Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:
Discontinuidad inevitable de salto finito
El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.
Discontinuidad inevitable de salto infinito El salto que se produce entre límites laterales es infinito.
En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito, picando AQUÍ.
Y, AQUÍ, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Discontinuidad esencial
Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:
Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en a, al no tener límite lateral por la izquierda en x = 1.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad esencial de salto finito, picando AQUÍ.
También, en el siguiente video, podrás ver el estudio de la discontinuidad de una función a trozos.
Hay una serie de igualdades de gran importancia en matemáticas y que deben manejarse con soltura, son las denominadas: identidades notables.
Las identidades notables son varias expresiones algebraicas que por su utilidad conviene conocer, ya que nos pueden ahorrar mucho tiempo en operaciones laboriosas. A continuación intentaremos definirlas y explicarlas detenidamente una a una.
Cuadrado de una suma:
(a + b)2 = a2 + 2∙a∙b + b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Es importante saber que, aunque aplicar estas igualdades nos ayuda mucho porque se realizan menos cálculos y tenemos menos posibilidades de cometer un error, si no las dominamos o recordamos podemos utilizar la propiedad distributiva. Así tenemos, cogiendo los ejemplos anteriores: (x+3)2 = (x+3) · (x+3) = x2 + x∙3 + 3·x + 32 = x2+2∙x∙3 + 32 = x2 + 6x + 9 (que es el mismo resultado obtenido antes)
O, en el caso de la diferencia: (a-2)2 = (a - 2) · (a - 2) = a2 - a∙2 - a·2 + 22 = a2 - 2·2·a + 4 = a2 - 4a + 4 (que es el mismo resultado obtenido antes) ATENCIÓN: No tiene sentido, aunque se puede hacer, aplicar estas igualdades cuando se
pueden realizar la operaciones expresadas entre paréntesis. En ese caso, se deben realizar en
primer lugar esas operaciones:
Ejemplos:
(4 + 2)2 = 62 = 36
(5x – 2x)2 = (3x)2 = 9x2
(3+ 2)(3-2)= 5∙1= 5 En el siguiente video podrás ver cómo se realizan estos cálculos en algunos ejemplos donde podemos aplicar estas igualdades notables:
