Una función f(x) es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:
1.- No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
2.- No existe el límite de f en el punto x = a:
3.- La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes:
Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:
- Discontinuidad evitable
- Discontinuidad inevitable
- Discontinuidad esencial
Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Existe el límite en a y éste es finito.
La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.
Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad evitable, picando AQUÍ.
Discontinuidad inevitable
Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:
Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.
Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales. 
Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:
Discontinuidad inevitable de salto finito
El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.
Discontinuidad inevitable de salto infinito
El salto que se produce entre límites laterales es infinito.
En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.
Y, AQUÍ, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Discontinuidad esencial
Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:
Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en a, al no tener límite lateral por la izquierda en x = 1.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad esencial de salto finito, picando AQUÍ.
También, en el siguiente video, podrás ver el estudio de la discontinuidad de una función a trozos.
