El Diagrama de Árbol en el cálculo de probabilidades

Un Diagrama de Árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de muchas probabilidades se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y, lo que es más importante, que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de valer 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad:

Por ejemplo, multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto. Ejemplo:

Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

Construimos el diagrama de árbol, partiendo de la primera información que tenemos: las facultades que forman la universidad y de cada una de las facultades saldrán don ramas para indicar el porcentaje de mujeres y hombres, colocando encima de cada rama su probabilidad y comprobando que su suma sea la unidad.

Cómo resolveríamos la siguiente cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

Multiplicando las ramas de 1ª facultad y que sea mujer, tendremos:

P(alumna de la 1a facultad) = 0,5⋅0,6 = 0,3

Y, cómo resolveríamos ahora esta cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón?

Multiplicando las probabilidades de las ramas de 1ª facultad y que sea hombre, mas la multiplicación de las probabilidades de las ramas de 2ª facultad y que sea hombre y también habrá que sumarle la probabilidad de multiplicar las probabilidades de las ramas de la 3ª facultad y que sea hombre, por lo que tendremos:

P(sea hombre) = 0,5·0,4 + 0,25·0,4 + 0,25·0,4 = 0,4

A continuación, les dejo tres videos explicativos donde se aplica, en diferentes problemas, la construcción de un diagrama de árbol. 

Aconsejo que, ante los problemas que platean en los videos, intentes resolverlos tú previamente, copiándolos en una hoja, intentando construir tu diagrama de árbol y comprobarlo con el que plantea el video. Saben bien, que si no lo intento... no lo consigo.

Potenciación con números enteros

Les propongo ver cómo se resuelven algunos ejercicios, explicados paso a paso, cuando aparecen distintas potencias y cómo aplicamos las propiedades de las potencias que hemos visto hasta ahora.

Seguiremos en clase, resolviendo las dudas.

Continuando con las potencias y sus propiedades

Continuamos repasando las propiedades de las potencias. Espero que este video te ayude a reforzar lo aprendido, y que hemos visto en clase, haciendo ejercicios.

Las propiedades con las que trabajamos las potencias, y su dominio por tu parte, es fundamental para poder seguir avanzando en tus conocimientos matemáticos.

Intenta comprender lo que ves en el video y, como siempre, si tienes alguna duda, pregúntamela en clase.

Empezando con potencias... Recordemos

El concepto de Potencia de un Número lo llevas manejando desde hace ya algunos años, pero quizás sería conveniente que le echaras un vistazo a estos videos que nos aclaran algunas ideas importantes sobre las potencias.

Puede que resulte fácil. Si es así, estupendo, porque has afianzado aún más la confianza que tienes sobre tus conocimientos.

También puede que, al principio te resultara difícil, pero estoy seguro, que después de haber visualizado los videos, las ideas las tendrás más claras para poder trabajar, con operaciones combinadas, las potencias.

Y, como siempre, si tienes alguna duda, pregúntamela en clase.

Aplicación, en problemas, de las operaciones con números racionales

Además de las técnicas que puedas tener para resolver los distintos ejercicios de operaciones combinadas con números, es importante poder aplicar en distintas situaciones problemáticas lo aprendido.

Por esa razón hemos planteado y resulto en clase múltiples problemas con fracciones.

Si quieres aprender más, puedes "picar" en la siguiente imagen.

Los números. Operaciones combinadas con números racionales

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo.

Es decir, una fracción común a/b con numerador "a" y denominador "b" distinto de cero.

El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien ) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos).

Este conjunto de Números Racionales incluye a los Números 

Enteros (), y es un subconjunto de los denominados Números Reales ().

En los siguientes videos tienes algunos ejemplos de como realizar operaciones combinadas de sumas, rectas, multiplicaciones y divisiones de números racionales.

También, todos estos contenidos, los has trabajado en 2º de la ESO.

Los números. Operaciones combinadas de números naturales y enteros

Los números son signos o conjuntos de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. El concepto proviene del latín numĕrus y posibilita diversas clasificaciones que dan a lugar a conjuntos como los números naturales (1, 2, 3, 4…), los números racionales y otros.

Los Números Enteros abarcan a los denominados Números Naturales (los números que, normalmente, se utilizan para contar, 1, 2, 3,...), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).

Los números enteros negativos tienen diversas aplicaciones prácticas. Con ellos se puede señalar una temperatura bajo cero (“En estos momentos, la temperatura en Tejeda es de -5ºC”) o una profundidad bajo el nivel del mar (“El barco hundido fue hallado a -135 metros”).

Es importante tener en cuenta que los números enteros son el resultado de las operaciones más básicas (suma y resta), por lo que su utilización se remonta a la antigüedad. Los matemáticos hindúes del siglo VI ya postulaban la existencia de números negativos. De la misma forma, tampoco podemos pasar por alto el hecho de que también podemos llevar a cabo tareas de multiplicación con los llamados números enteros. En este caso es importante subrayar que ahí hay que realizar la determinación, por un lado, de lo que son los signos de los números que participan en la operación y por otro lado, del producto de los valores absolutos.

Así, en el primer caso, en el de los signos, hay que subrayar una serie de reglas que hay que tener muy en cuenta. De tal manera que:

Veamos algunos ejemplos de ellos para entender estas reglas:

(+ 5) · (+ 6) = +30

(- 8) · (- 2) = +16

(+ 4) : (- 2) = - 2

(- 6) : (+ 3) = – 18

Veremos, en el siguiente video, cómo resolver operaciones combinadas de números enteros, positivos y negativos, donde hay suma, resta, multiplicación y división, con paréntesis, es decir, lo que se denomina operaciones combinadas con números enteros.

Para resolverlos de forma correcta, tendremos que tener clara la jerarquía de las operaciones combinadas. Recuerda que ya tuviste que resolver ejercicios de este tipo en 2º de la ESO.