Blog del Profesor Eloy Morales, del Instituto de Enseñanza Secundaria La Minilla, dedicado a la ayuda de su alumnado durante el curso 2016/2017 en su proceso de enseñanza y aprendizaje.
El mes de julio ha comenzado y con el los dos meses de verano, estación que puedes organizar para aprovechar todos sus días. Como me han escuchado en clase, en más de una ocasión, hay tiempo para todo... sólo que hay que programarlo.
Para empezar les propongo algunas actividades que pueden ser de repaso o de profundización. Son enlaces donde se pueden plantear algunos problemas, ejercicios, etc. Debes ser capaz también de poder seleccionar aquellas cuestiones que se dieron en clase y que necesitas mejorar para obtener un estupendo resultado en la convocatoria de septiembre.
Otro año más llega el mes de junio y el fin de la actividad académica en nuestro Centro Educativo. Quiero felicitar a todo el alumnado que ha superado la materia y animar a todos aquellos que le queda pendiente de superarla en el mes de septiembre. Un ciclo escolar que termina, una página que llega a su fin; un peldaño más que subir.
La oportunidad comienza de nuevo; no es el fin, sólo es el inicio de tu porvenir.
Durante el verano, incluiré algunos enlaces y actividades de refuerzo y ampliación de los contenidos impartidos en todos los niveles educativos que he impartido.
A todos, aprobados y suspendidos, les deseo un excelente verano y un buen comienzo, con ganas y energías recuperadas, para comenzar un nuevo curso 2017/2018.
Hemos pasado ya de las 5000 visitas al Blog, cantidad inesperada para mí. Muchas gracias a todo mi alumnado por la acogida que ha tenido el blog, esperando que les esté siendo de utilidad.
Deseo que sigan utilizándolo para preparase las próximas pruebas escritas finales. Hemos dividido, de forma consensuada en cada uno de los niveles educativos, los distintos contenidos que comprenden las dos partes en las que hemos dividido la materia de todo el curso.
Ahora es tiempo de organizarse y hacer un listado de todo lo impartido en clase, repasando y/o profundizando en los distintos procedimientos.
Mucha suerte al alumnado que los próximos días participarán en las Pruebas EBAU para entrar en la Universidad, y también, a todo mi alumnado en todas las materias que están estudiando.
Es necesario hacer un esfuerzo final. Seguro que se sentirán orgullosos del esfuerzo.
El método de Ruffini fue descrito por el matemático, profesor y médico italiano Paolo Ruffini en el año 1804, el método o regla de Ruffini es un método que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x+a) o (x-a).
En el siguiente enlace, podrás ver cómo se resuelven este tipo de divisiones de una forma muy sencilla. Para ello, "pica" AQUÍ.
Aunque ya lo hemos trabajado en clase, en este primer video podrás ver y aprender a realizar la suma de "n" términos seguidos en una progresión aritmética. No sólo se explica la expresión que se utiliza y cómo la usamos, sino que además tendrás un caso práctico.
Y, en este video siguiente podrás ver, paso a paso, cómo podemos realizar la suma de "n" términos de una progresión geométrica.
Cario Frabetti es italiano (Bolonia, 1945), pero vive en España y escribe habitualmente en castellano. Escritor y matemático, cultiva asiduamente la divulgación científica y la literatura infantil y juvenil. Ha publicado más de treinta libros, entre los que destacan El bosque de los grumos y los protagonizados por el enano Ulrico (La magia más poderosa, Ulrico y las puertas que hablan, Ulrico y la llave de oro). Ha sido galardonado con el Premio Jaén de Narrativa Juvenil por el libro titulado El gran juego, y fue finalista del mismo con El ángel terrible (todos ellos en Editorial Alfaguara). También ha creado, escrito y/o dirigido numerosos programas de televisión, como La bola de cristal, El duende del globo y Colorín Colorado.
Si quieres descargar el libro en formato pdf, "pica" AQUÍ.
A veces, los números, forman patrones interesantes. Aquí mostramos los más comunes y cómo se forman.
Sucesiones aritméticas: Una sucesión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez.
Ejemplos:
A) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos. Fíjate entonces que, el patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.
B) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos. El patrón, entonces, se sigue sumando 3 al último número cada vez.
Sucesiones geométricas: Una sucesión geométrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez. Ejemplos: A) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 2 cada vez.
B) 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 3 cada vez.
Estas dos sucesiones son las que estudiaremos este curso académico, pero hay muchos tipos de sucesiones, entre ellas destacamos:
Sucesiones especiales: Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.
Cada número se obtiene elevando su posición al cuadrado: El primer número es 1 al cuadrado (o 1x1); El segundo número es 2 al cuadrado (o 2×2)... El séptimo número es 7 al cuadrado (o 7×7), etc.
Sucesiones especiales:cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
Cada número se obtiene elevando su posición al cubo: El primer número es 1 al cubo; El segundo número es 2 al cubo... El séptimo número es 7 al cubo, etc.
Sucesiones especiales: Números de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se obtiene sumando los dos números delante de él: El 2 se calcula sumando los dos números delante de él (1+1); El 21 se calcula sumando los dos números delante de él (8+13)... El siguiente número de la sucesión sería 55 (21+34)
Te invito a que averigües y construyas la siguiente sucesión de números...
Y entonces, ¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Finita o infinita: Si la sucesión puedo seguir escribiéndola "para siempre", es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos.
A) {1, 2, 3, 4, ...} es una sucesión muy simple, y es una sucesión infinita.
B) {20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita. Fíjate en el patrón: Empiezo en 20 y vamos sumando 5.
C) {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares y es una sucesión finita.
D) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás. Sucesión finita.
E) {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando, o multiplicando por dos, cada término.
F) {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético. Sucesión finita.
G) {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo". Sucesión finita.
H) {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden:
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla: Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una expresión matemática!...
Vamos a verlo en el siguiente video:
Ahora veamos algunas sucesiones especiales, que son las que trabajaremos en clase.
Sucesiones o Progresiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Es decir, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Ejemplos
A) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla, o el término general, es an = 3n-2
B) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla, o término general, es an = 5n-2
Veamos el siguiente video, para ver el procedimiento del cálculo del término general de una progresión aritmética:
Sucesiones o Progresiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de la progresión.
Ejemplos: a) La sucesión:
3,6,12,24,48,...
es una progresión geométrica de razón 2. b) La sucesión:
0,0.1,0.01,0.001,...
es una progresión geométrica de razón 0.1. c) La sucesión:
1,1/4,1/16,1/64,...
es una progresión geométrica de razón 1/4.
En el siguiente video podrás profundizar en las progresiones geométricas y ver cómo se calcula el término general de una progresión geométrica.
Es importante dominar los contenidos relativos a dos tipos de funciones, denominadas elementales, como son las rectas y las parábolas. Hemos trabajado en clase múltiples ejercicios en relación a este tema: Representación de rectas, representación de parábolas, puntos de corte de dos rectas, cálculo de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, puntos de corte de recta y parábolas,...
Aquí te dejo un material que trata todo lo aprendido, con ejercicios resueltos, por si tienes que aclarar dudas, y con muchos ejercicios propuestos que podrás trabajar en casa para reforzar lo aprendido, y, si tienes alguna duda en alguno de ellos, pregúntamelo de forma individual en clase.
En el siglo IV después de J.C., en una de esas afortunadas coincidencias de pensamiento con que nos sorprende tantas veces la historia, los sabios de dos pueblos muy alejados entre sí, los mayas y los hindúes, inventan un signo para el concepto del vacío, de la nada: el cero.
Los árabes, que llegaron en sus conquistas a la India en el siglo VIII, lo aprendieron de los hindúes, junto con sus números, y lo adoptaron a su alfabeto combinando el rigor y los conocimientos de los grandes matemáticos griegos con la facilidad de cálculo del sistema hindú. Así se convirtieron en los creadores de las matemáticas, tal como han llegado a nosotros, las divulgaron por todo el ámbito de su imperio y, a través de Córdoba, se conocieron en los monasterios cristianos y después en Europa, aunque no se aceptaron.
El gran poder cultural del Califato de Córdoba durante los siglos IX y X no se ha estudiado apenas y casi siempre se ha comprendido mal. La ciudad de Córdoba, convertida en capital y embellecida con jardines y fuentes, tuvo una población de 500000 habitantes, mientras las grandes ciudades de Europa no alcanzaban ni la décima parte. La tolerancia de los musulmanes, que dejaban practicar su culto tanto a los judíos como a los cristianos, atrajo a los sabios de todo el mundo y produjo una gran expansión cultural, amparada por la gran biblioteca de la ciudad y los centros de estudio de todas las ciudades del Califato. En ellos, hasta los muchachos sin dinero podían estudiar porque el califa destinaba la cuarta parte de sus ingresos personales a limosnas para los pobres y becas para los estudiantes inteligentes y sin recursos.
El Señor del Cero es la historia de un mozárabe (un cristiano que siguió viviendo en las tierras dominadas por los árabes sin renunciar a su religión), buen matemático, que recorre el camino que seguía la ciencia y la cultura que llegaba a Europa: de Córdoba a los monasterios del Norte, castellanos y leoneses, navarros y catalanes. En sus bibliotecas atesoraron, junto con las copias de la Biblia y los escritos de los Santos Padres, la valiosa cultura árabe, sus traducciones de los antiguos sabios griegos y latinos y sus libros de medicina y matemáticas. Desde allí se transmitieron a una Europa de pueblos todavía semibárbaros y que, en muchos lugares, adoraban a los dioses germánicos, y todavía no estaban muy preparados para comprenderla.
Para descargar el Libro, en formato pdf, "pincha" AQUÍ.
Estoy seguro que alguna vez, te has hecho, al menos una de estas preguntas...
¿Frecuentaba realmente Arquímedes la bañera? ¿Por qué los números fueron anteriores a las letras? ¿Quién se inventó el cero? ¿Por qué contar con los dedos supuso un gran avance para la humanidad? ¿Qué matemático griego murió de forma no precisamente plácida por culpa de una raíz cuadrada? ¿Quién fue la primera mujer matemática de la historia? ¿Quién fue el primer gran líder en utilizar la criptografía para cifrar mensajes a sus tropas? ¿Quién inventó el signo de la suma? ¿Por que la raíz cuadrada tiene esa extraña forma? ¿Por qué todos los barberos del siglo XVI eran además algebristas? ¿Resolvieron Euler y Descartes el mismo problema sin saber nada el uno del otro? ¿Cuáles han sido los cuatro grandes chascos matemáticos del siglo XX? ¿A qué se retaron cuando se conocieron Unamuno y Gaudí?, ¿Qué opinaban el uno del otro Charlie Chaplin y Einstein? ¿Qué matemáticas son aplicables a las relaciones sexuales? ¿Qué gran matemático español ganó el Nobel de literatura? ¿Qué matemático dijo “Para mí el infinito empieza a partir de mil pesetas”? ¿Cuántos cráteres lunares tienen nombre de matemático? ¿A qué genio de los números homenajea la manzana de Apple?...
Un divertido paseo por la historia de las matemáticas a través de las anécdotas más jugosas y sorprendentes.
Después de llevarse a cabo todas las Pruebas Escritas para la Segunda Evaluación que tendrá lugar a partir del próximo lunes, hemos pasado de las 3500visitas al Blog. Muchos de ustedes lo han visitado y estoy encantado que les sea de utilidad.
Las Matemáticas son una asignatura que no deja indiferente a ningún estudiante. Algunos la aman y otros la odian; siendo este segundo grupo mucho más numeroso que el primero en la mayoría de las ocasiones. Sin embargo, muchos de los alumnos y alumnas que odian las matemáticas lo hacen porque no saben cómo estudiar matemáticas para obtener buenos resultados.
Matemáticas es una de esas asignaturas en las que las horas de estudio no tienen una relación directa con la nota. Por mucho que hayas estudiado, si no eres capaz de solucionar el problema del examen, estás perdido. No obstante, existen algunas técnicas para aprender matemáticas que pueden hacer que, independientemente de tu nivel, le saques más partido a tu tiempo de estudio y aumentes tus probabilidades de éxito.
Todo el profesorado de matemáticas sabe que el alumnado, en muchas ocasiones, no sabe cómo estudiar Matemáticas, por eso te voy a presentar algunos consejos que te pueden ayudar y también te propongo un video que puede aclararte algunas cuestiones sobre el estudio de esta materia.
¡Hasta es posible que te acabes uniendo al grupo de amantes de las matemáticas!
Aquí te van algunos consejos:
1. Práctica, Práctica y Más Práctica
Es imposible aprender matemáticas leyendo y escuchando. Para aprender matemáticas hay que ponerse el mono de trabajo y lanzarse a hacer ejercicios matemáticos. Cuanto más practiques, mejor. Cada ejercicio tiene sus procedimientos de resolución y es importante haber realizado el máximo número de ejercicios posibles antes de enfrentarnos al examen. Este punto es el más importante de todos y la base del resto de técnicas para estudiar matemáticas de esta lista.
2. Revisa los Errores
Cuando estés practicando con ejercicios, es muy importante que compruebes los resultados y, más importante aún, que te detengas en la parte que has fallado y examines el proceso en detalle hasta asimilarlo. De nada sirve comparar resultados si no sabes en qué te has equivocado. Por eso es conveniente que tengas unos buenos apuntes con problemas resueltos. De esta manera, evitarás cometer los mismos fallos en el futuro. También es recomendable apuntar todos tus fallos y repasarlos repetidamente antes del examen.
3. Domina los Conceptos Clave
¡No intentes aprenderte los problemas de memoria! Los problemas matemáticos pueden tener miles de variantes y particularidades, por lo que es inútil aprendernos problemas de memoria sin entenderlos. Es cambio, es mucho más efectivo dominar los conceptos importantes y el proceso de resolución de los problemas.
Recuerda que las Matemáticas son una asignatura secuencial, por lo que es importante asentar una base firme dominando los conceptos clave y teniendo claras los procedimientos matemáticos esenciales.
4. Consulta tus Dudas
Puede que en muchas ocasiones te sientas atascado en una parte de un problema o que simplemente no entiendas el proceso. Lo común en estos casos es simplemente pasar de ese problema y pasar al siguiente. Sin embargo, es recomendable despejar todas las dudas que tengas en la resolución de un problema.
Por tanto, puede ser buena idea estudiar junto a algún compañero con el que consultar dudas y trabajar juntos en problemas más complejos. O, mejor todavía, ¿por qué no visitas, más a menudo, el blog?... Sabes que en él puedes plantear tus dudas y trabajar colaborativamente?
Asimismo, recuerda plantearle al profesor las dudas que tengas en la hora de clase.
5. Crea un Ambiente de Estudio sin Distracciones
Las Matemáticas son una asignatura que requiere más concentración que ninguna otra. Un ambiente de estudio adecuado y libre de distracciones puede ser el factor determinante para conseguir resolver ecuaciones o problemas de geometría, álgebra o trigonometría complejos. Si te gusta estudiar con música, puede ser una buena idea escucharla de fondo para relajarte y favorecer un ambiente de máxima concentración. Eso sí, deja de lado Pitbull y Eminem, la música instrumental/clásica es lo más recomendable en estas ocasiones.
6. Crea un Diccionario Matemático
La asignatura de matemáticas tiene una jerga específica con mucho vocabulario propio. Te sugerimos que crees unas fichas de estudio con todos los conceptos que vas aprendiendo y su significado, para que puedas consultarlos en cualquier momento y no te sientas perdido entre tanta palabrería.
7. Aplica Problemas al Mundo Real
En la medida de lo posible, intenta aplicar los ejercicios al mundo real. Las matemáticas pueden ser una materia muy abstracta en algunas ocasiones, por lo que mirar su aplicación práctica puede ayudarte a cambiar tu perspectiva sobre ella y asimilarla de manera diferente.
Si aplicas todos estos consejos sobre cómo estudiar matemáticas, tendrás muchas probabilidades de mejorar tus notas de acceso o notas finales. Ah, y no olvides que es importante también tener confianza en uno mismo y afrontar el examen sabiendo que te has preparado adecuadamente.
Además de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinómicas con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática.
Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma:
y = ax^2 + bx + c,
donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.
Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.
Veamos en el siguiente video cómo representamos las funciones cuadráticas, llamadas parábolas.
En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:
f(x) = mx + n
donde "m" y "n" son números reales y "x" es una variable real. La constante "m" es lo que se denomina la pendiente de la recta, y "n" es el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas, es decir el (0,n).
Si se modifica "m" entonces se modifica la "inclinación" de la recta, y si se modifica "n", entonces la línea se desplazará "hacia arriba o hacia abajo", en el sistema de ejes de coordenadas.
En algunos libros llaman función lineal a aquella con n = 0 de la forma:
f(x) = mx
(se caracteriza porque pasa por el origen de coordenadas)
mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
f(x) = mx + n
(se caracteriza porque nunca pasa por el origen de coordenadas)
En el siguiente video podrás ver como se representa en un sistema de ejes de coordenadas este tipo de funciones.
Próximamente vamos a empezar a ver la representación gráfica de rectas y parábolas. Para ello es necesario que sepas manejar perfectamente la colocación de puntos en el plano, para ello se utilizan los sistemas de ejes de coordenadas.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto en el plano.
Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
En el siguiente video podrás ver cómo utilizamos el sistema de ejes de coordenadas y como podemos representar cualquier punto de un plano en él.
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.
La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
Por ejemplo,
Las soluciones serán: x = 2, y = 3, ya que, si sustituimos la "x" por el valor 2 y la "y" por el valor 3, obtendremos una igualdad (cualquier otro valor que le demos a la "x" o a la "y" no verifica las dos ecuaciones dadas) :
Existen tres métodos para resolver los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, veamos cada uno de ellos:
Método de sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Metodo de igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Metodo de Reducción
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Estos procedimientos lo emplearemos en resolver problemas como el de la siguiente imagen...
Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.
Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.
¿Qué es un problema?
Quizás hayas pensado que siempre en la clase de matemáticas has resuelto problemas. Pues te digo que no, la mayoría de las veces, en clase, se resuelven y se hacen ejercicios. Veamos las diferencias entre Ejercicios y Problemas.
EJERCICIOS
De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
Proponen tareas perfectamente definidas.
PROBLEMAS
Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.
Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.
ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR
Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones:
La actitud inicial es importante
Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?
Ten confianza en tus capacidades
Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.
Sé paciente y constante
No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.
Concéntrate en lo que haces
Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.
Busca el éxito a largo plazo
Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.
Aquí te dejo unos cuantos videos donde se plantean problemas y que se resuelven aplicando ecuaciones de primer grado, y cómo no, pensando y razonando al plantear las ecuaciones necesarias. Intenta plantear tú la ecuación, poniendo pausa en el video, y después comprueba tus errores o aciertos.
Hay una serie de igualdades de gran importancia en matemáticas y que deben manejarse con soltura, son las denominadas: identidades notables.
Las identidades notables son varias expresiones algebraicas que por su utilidad conviene conocer, ya que nos pueden ahorrar mucho tiempo en operaciones laboriosas. A continuación intentaremos definirlas y explicarlas detenidamente una a una.
Cuadrado de una suma:
(a + b)2 = a2 + 2∙a∙b + b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Es importante saber que, aunque aplicar estas igualdades nos ayuda mucho porque se realizan menos cálculos y tenemos menos posibilidades de cometer un error, si no las dominamos o recordamos podemos utilizar la propiedad distributiva. Así tenemos, cogiendo los ejemplos anteriores: (x+3)2 = (x+3) · (x+3) = x2 + x∙3 + 3·x + 32 = x2+2∙x∙3 + 32 = x2 + 6x + 9 (que es el mismo resultado obtenido antes)
O, en el caso de la diferencia: (a-2)2 = (a - 2) · (a - 2) = a2 - a∙2 - a·2 + 22 = a2 - 2·2·a + 4 = a2 - 4a + 4 (que es el mismo resultado obtenido antes) ATENCIÓN: No tiene sentido, aunque se puede hacer, aplicar estas igualdades cuando se
pueden realizar la operaciones expresadas entre paréntesis. En ese caso, se deben realizar en
primer lugar esas operaciones:
Ejemplos:
(4 + 2)2 = 62 = 36
(5x – 2x)2 = (3x)2 = 9x2
(3+ 2)(3-2)= 5∙1= 5 En el siguiente video podrás ver cómo se realizan estos cálculos en algunos ejemplos donde podemos aplicar estas igualdades notables:
