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Discontinuidad de una Función


Una función f(x) es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones: 


1.- No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:




2.- No existe el límite de f en el punto x = a:




3.- La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes:


Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades: 
  • Discontinuidad evitable
  • Discontinuidad inevitable
  • Discontinuidad esencial
Discontinuidad evitable
Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes: 


Existe el límite en a y éste es finito.

La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.

Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad evitable, picando AQUÍ.

Discontinuidad inevitable
Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir: 



Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos. 
Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en: 
Discontinuidad inevitable de salto finito
El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita. 


Discontinuidad inevitable de salto infinito
El salto que se produce entre límites laterales es infinito.


En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito, picando AQUÍ.
Y, AQUÍ, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito.

Discontinuidad esencial
Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:



Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en a, al no tener límite lateral por la izquierda en x = 1.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad esencial de salto finito, picando AQUÍ.

También, en el siguiente video, podrás ver el estudio de la discontinuidad de una función a trozos.





Funciones definidas a trozos


Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas. Por ejemplo, 


es una función definida a trozos, en cada “trozo” de su dominio tiene una definición. Para valores de la variable menores o iguales que −2 la función está definida como x^2 + x − 4 ; si la variable está entre −2 y 3 la función es x + 1 y entre 3 y 10 es igual a 2.5.
Observa, además, que su dominio de definición es (-∞, 10), porque no está definida para valores mayores o iguales que 10.

Aquí les dejo algunos ejemplos sobre cómo podemos representar las denominadas funciones a trozos:

Otros ejemplos:



Para estudiar hay que motivarse… estar motivado



Estudiar no es divertido... me aburre...
No me puedo concentrar.
Ya que no es divertido...
¿Podemos hacerlo interesante?
Las razones que pueden motivar a un joven universitario no son las mismas que pueden motivar a un niño de primaria o a un chico o chica, como ustedes, de secundaria o bachillerato. Además, a cada persona le motiva algo diferente o algo en un grado distinto que a los demás.
El entusiasmo mueve montañas...

He querido escribirles sobre la necesidad de estar motivados, pues dentro de nada comenzarán las distintas Pruebas Escritas en todos los niveles educativos y es muy importante dedicarle un poco de tiempo a la asignatura.

Aunque desde muy pequeños nos enseñan que hay que sacar buenas notas, estudiar no es una tarea fácil. Son muchos los elementos que parecen estar en nuestra contra, como lo mal que nos cae un profesor o profesora, lo largo de los temarios, el poco tiempo del que solemos disponer, lo complicado de determinadas asignaturas, el ruido que hay en nuestra casa…
Sin embargo, todas estas dificultades se pueden superar si tenemos motivación. Motivación es una palabra muy interesante. Viene del verbo latino movere, que quiere decir ponerse en marcha. Y es que eso es lo que necesitamos para vencer cualquier tipo de dificultad.
A veces nos asaltan anuncios publicitarios con frases como ésta: “Aprenda inglés sin esfuerzo” o “No estudie más. Aprenderá a hablar inglés sin estudio” o comentarios por el estilo. En el fondo de estos anuncios está la idea de que no hace falta esforzarse, ni luchar, ni estudiar, ni trabajar para conseguir los objetivos de una lengua o de una ciencia. Es interesante la técnica publicitaria de estos anuncios, pero pedagógicamente el contenido de esos mensajes es erróneo y falso, creando unas expectativas engañosas en el ingenuo receptor de esos mensajes.
En la misma línea también nos encontramos con las propuestas de aprender jugando. El estudio y el juego son conceptos distintos que no se deben confundir. El estudio exige esfuerzo y proporciona también satisfacciones y alegrías y el juego busca prioritariamente la diversión. Hay un tiempo para estudiar y un tiempo para jugar y divertirse.

Si nos dejamos vencer por los impedimentos nos paramos, no hacemos nada, dejamos pasar las oportunidades y veremos cómo los demás nos superan mientras nos quedamos atrás. Sin embargo, si nos ponemos en marcha, poco a poco veremos cómo superaremos cualquier tipo de obstáculo. Vamos a ver entonces qué necesitamos para ponernos en marcha, para motivarnos.
En los cursos de técnicas de estudio se afirma que para obtener buenos rendimientos académicos hacen falta cuatro cosas: poder, querer, saber y dedicar tiempo.

a) Poder estudiar es tener las facultades intelectuales necesarias, como inteligencia, memoria y atención.

b) Saber estudiar es dominar las técnicas básicas del estudio: lectura comprensiva, subrayado, esquema, cuadro sinóptico y repaso.

c) Querer estudiar es estar motivado personalmente para aprender nuevos conocimientos y estar dispuesto a superar las dificultades que posiblemente se encontrarán en el estudio. Las motivaciones han de ser personales, es decir, las tienes que tener tú. Las presiones externas, ya sean de los padres y madres, del profesorado o de la sociedad suelen ser poco efectivas para mejorar el rendimiento.

d) El último requisito es dedicar el tiempo necesario para hacer los deberes, estudiar las lecciones, hacer los problemas y demás ejercicios. El tiempo dedicado al estudio será mayor conforme se avanza en los cursos de bachillerato y Universidad.

De estos cuatro factores, el más importante es querer estudiar, es decir, tener motivaciones positivas y estar decidido a poner el esfuerzo y el empeño necesario para conseguir los objetivos.

¿Cómo puedo entusiasmarme con mis estudios?

1. Los estudios son interesantes. Admitamos que no son tan divertidos como la tele, jugar a la play, una charla con los amigos y amigas, un baño en Las Canteras... Pero me esfuerzo en verlos interesantes y hacerlos interesantes yo mismo con mi imaginación y mi esfuerzo. Soy consciente de que este esfuerzo me ayuda…

2. Estudiar y aprovechar bien el tiempo me deja más tiempo libre para divertirme y pasártelo bien…

3. Mis profesoras, mis profesores y mis padres me van a estimar, premiar y valorar mucho más...

4. Me he dado cuenta que cuando conozco bien un tema, me gusta.

5. Cuando hago las cosas bien, me siento más seguro.

6. Disfruto más en mi tiempo libre, con mis amigos, la tele, Internet si previamente he hecho mi trabajo bien.

7. Cada vez que alcanzo un pequeño triunfo me animo y me hace sentir más seguro y con ganas de ir más lejos...

El estudio no es camino fácil. Habitualmente se encuentran dificultades tales como: palabras que no se entienden y hay que buscar en el diccionario, volver a leer un párrafo para comprender bien el sentido, descubrir las ideas principales, subrayar y hacer el esquema de la lección, memorizar los conceptos fundamentales, dedicar el tiempo necesario al estudio cuando apetecería más salir a jugar o ver la tele, etc.
Para superar estas dificultades hace falta esfuerzo y dedicación. Un buen estudiante tendría en cuenta estos aspectos:
1. No dejar el trabajo para mañana.
2. Aprender a decir que no a otras posibilidades y ofrecimientos que no facilitan la formación.
3. Desarrollar la propia voluntad para hacer con energía en cada momento lo que hay que hacer.
4. Luchar con empeño para no quedarse en lo fácil, sino profundizar en todos los asuntos.
5. Saber que el trabajo profesional del estudiante es estudiar mucho y bien.
6. No desanimarse cuando no se alcanza un objetivo que parecía fácil y sencillo.
7. Poner el esfuerzo necesario como aquel deportista, que corriendo en el estadio, consigue llegar el primero a la meta.
8. Comprender la necesidad del descanso, que muchas veces consistirá en cambiar de ocupación. Pero descanso no es sinónimo de ocio en el sentido de no hacer nada.

La falta de esfuerzo puede desembocar en un fracaso escolar en tu vida de estudiante, pero puede ser más grave si termina en una vida fracasada profesionalmente.

Pensamientos que debes tener para estudiar al 100%

1. Ten clara su meta A nadie le gusta esforzarse si no hay alguna meta que alcanzar. ¿Tú correrías dos kilómetros todos los días sin ninguna explicación? Seguro que no. Lo harías para estar en forma, ganar a tus amigos, impresionar a una chica o chico, lograr un premio o clasificación… De la misma manera, cuando te pongas a estudiar debes tener clara cuál va a ser tu meta. ¿Aprobar el próximo examen?¿Lograr el título? ¿Convencer a tus padres de que lo puedes lograr?... No escojas algo abstracto como ser mejor persona o cultivar mi espíritu porque las metas abstractas son como humo en el aire, se disipan rápidamente y no dejan ningún rastro. Tampoco elijas objetivos a muy largo plazo o simplemente irrealizables como ser presidente del gobierno o llegar a ser el más listo del mundo. Estos no te ayudarán para nada, porque la consecución de los primeros puede hacerse eterna y los segundos ofrecen metas ficticias que terminarán con tu motivación. Escoge metas alcanzables a corto plazo por las que puedas luchar con todas tus fuerzas.

2. Recuerda siempre esa meta y vence a tu mente. Cuando vengan las dificultades en muy fácil perder la motivación, el movimiento hacia delante necesario. El cuerpo humano no está hecho para sufrir, ni para estar sentado más de una hora en una silla. Por ello, tu mente comenzará a lanzarte mensajes de Tú no puedes hacerlo, levántate y sal a la calle, lo que quieres no es tan importante, no merece la pena… Aparecerán miles de excusas para no seguir. Es entonces cuando debes recordar esa meta, recordar por qué estás ahí y qué quieres alcanzar. Lucha contra tu mente y que gane tu corazón.


¡¡Venga p’alante!!

Distribución Binomial


Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.
El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías, tendremos un suceso A y su contrario (a las que se denomina éxito y fracaso) y las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1 - p).
Además cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). 
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B( n , p ).
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n experimentos.
En el siguiente video veras como distinguiremos cuando una variable aleatoria es binomial.


El Diagrama de Árbol en el cálculo de probabilidades


Un Diagrama de Árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de muchas probabilidades se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y, lo que es más importante, que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de valer 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad:
Por ejemplo, multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto. Ejemplo:

Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

Construimos el diagrama de árbol, partiendo de la primera información que tenemos: las facultades que forman la universidad y de cada una de las facultades saldrán don ramas para indicar el porcentaje de mujeres y hombres, colocando encima de cada rama su probabilidad y comprobando que su suma sea la unidad.


Cómo resolveríamos la siguiente cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?


Multiplicando las ramas de 1ª facultad y que sea mujer, tendremos:
P(alumna de la 1a facultad) = 0,5⋅0,6 = 0,3

Y, cómo resolveríamos ahora esta cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón?

Multiplicando las probabilidades de las ramas de 1ª facultad y que sea hombre, mas la multiplicación de las probabilidades de las ramas de 2ª facultad y que sea hombre y también habrá que sumarle la probabilidad de multiplicar las probabilidades de las ramas de la 3ª facultad y que sea hombre, por lo que tendremos:

P(sea hombre) = 0,5·0,4 + 0,25·0,4 + 0,25·0,4 = 0,4

A continuación, les dejo tres videos explicativos donde se aplica, en diferentes problemas, la construcción de un diagrama de árbol. 
Aconsejo que, ante los problemas que platean en los videos, intentes resolverlos tú previamente, copiándolos en una hoja, intentando construir tu diagrama de árbol y comprobarlo con el que plantea el video. Saben bien, que si no lo intento... no lo consigo.






Probabilidad Condicionada de Sucesos


Un concepto muy importante en el estudio de las probabilidades es la Probabilidad Condicionada.
Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás.
La probabilidad condicionada, se trata del cálculo de la probabilidad de que me ocurra un suceso A, cuando sabemos que ha ocurrido un suceso B, y lo representamos por P(A/B).
En el siguiente video podrás analizar de forma específica su definición completándose con un ejercicio de probabilidad condicionada explicado, paso a paso, de forma sencilla y clara.


Calculo de la Probabilidad de Sucesos. Regla de Laplace para calcular Probabilidades


En el siguiente video se presenta la definición de la probabilidad mediante la Regla de Laplace y se realiza una exposición de sus propiedades más importantes.
Se resuelven varios ejercicios prácticos de cálculo de probabilidades de sucesos, de la unión de dos sucesos y de la intersección de dos sucesos.
Y, como siempre, aprovecharemos el tiempo de clase para resolver ejercicios y problemas.


Distribución Normal Tipificada N(0,1) con algunos ejemplos

Se presenta en el siguiente video, la Distribución Normal Tipificada o Reducida N(0,1) (que será la que manejaremos en clase mediante una Tabla) mostrando sus características y aprenderás a calcular un valor de probabilidad usando la Tabla de dicha distribución. Se explica el proceso de tipificación de la variable aleatoria y se completa con un ejemplo sencillo para comprender mejor el proceso y su significado.


En estos otros videos, podrás ver cómo calcular probabilidades de nuestra variable aleatoria que, sigue una distribución normal, realizando unos casos prácticos donde se pone de manifiesto los conceptos visto en videos anteriores.




La Variable Aleatoria Normal


Comenzamos el estudio de la Distribución Normal de Probabilidades, estudiando la función de Gauss (campana de Gauss) y sus características mas notables así como los conceptos que debemos tener claros para poder entender los problemas con posterioridad.
En el siguiente video, se exponen diversas ideas sobre la distribución normal.





La campana de Gauss es empleada en estadística y probabilidad, y debe su nombre a su descubridor, el matemático, astrónomo y físico alemán Carl Friedrich Gauss.

¿Te gustaría saber qué es la campana de Gauss?

La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. El punto máximo de la curva corresponde a la media, y tiene dos puntos de inflexión a ambos lados.

¿Para qué se utiliza la campana de Gauss?
Este gráfico se usa en variables asociadas a fenómenos naturales: caracteres morfológicos de individuos como la estatura o el peso, caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco, caracteres sociológicos como el consumo de un determinado producto por un mismo grupo de individuos, caracteres psicológicos como el cociente intelectual…
Podrás analizar la descripción y características notables de la variable aleatoria normal.


Unión, Intersección, Diferencia, Contrarios...





UNIÓN DE SUCESOS
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. 

A B se lee como "A o B"

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}


Propiedades de la unión de sucesos

Conmutativa:

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción


INTERSECCIÓN DE SUCESOS
La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B"
Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.


A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {3}


Propiedades de la intersección de sucesos
Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación


Distributiva

Elemento neutro

Absorción


DIFERENCIA DE SUCESOS

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B"

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}


Propiedad de la diferencia de sucesos


SUCESOS CONTRARIOS

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .

A = {2, 4, 6}

= {1, 3, 5}


Propiedades de los sucesos contrarios






En el siguiente video podrás ver una estupenda explicación que incluye algunos ejemplos.