Blog del Profesor Eloy Morales, del Instituto de Enseñanza Secundaria La Minilla, dedicado a la ayuda de su alumnado durante el curso 2016/2017 en su proceso de enseñanza y aprendizaje.
Cario Frabetti es italiano (Bolonia, 1945), pero vive en España y escribe habitualmente en castellano. Escritor y matemático, cultiva asiduamente la divulgación científica y la literatura infantil y juvenil. Ha publicado más de treinta libros, entre los que destacan El bosque de los grumos y los protagonizados por el enano Ulrico (La magia más poderosa, Ulrico y las puertas que hablan, Ulrico y la llave de oro). Ha sido galardonado con el Premio Jaén de Narrativa Juvenil por el libro titulado El gran juego, y fue finalista del mismo con El ángel terrible (todos ellos en Editorial Alfaguara). También ha creado, escrito y/o dirigido numerosos programas de televisión, como La bola de cristal, El duende del globo y Colorín Colorado.
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A veces, los números, forman patrones interesantes. Aquí mostramos los más comunes y cómo se forman.
Sucesiones aritméticas: Una sucesión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez.
Ejemplos:
A) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos. Fíjate entonces que, el patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.
B) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos. El patrón, entonces, se sigue sumando 3 al último número cada vez.
Sucesiones geométricas: Una sucesión geométrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez. Ejemplos: A) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 2 cada vez.
B) 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 3 cada vez.
Estas dos sucesiones son las que estudiaremos este curso académico, pero hay muchos tipos de sucesiones, entre ellas destacamos:
Sucesiones especiales: Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.
Cada número se obtiene elevando su posición al cuadrado: El primer número es 1 al cuadrado (o 1x1); El segundo número es 2 al cuadrado (o 2×2)... El séptimo número es 7 al cuadrado (o 7×7), etc.
Sucesiones especiales:cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
Cada número se obtiene elevando su posición al cubo: El primer número es 1 al cubo; El segundo número es 2 al cubo... El séptimo número es 7 al cubo, etc.
Sucesiones especiales: Números de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se obtiene sumando los dos números delante de él: El 2 se calcula sumando los dos números delante de él (1+1); El 21 se calcula sumando los dos números delante de él (8+13)... El siguiente número de la sucesión sería 55 (21+34)
Te invito a que averigües y construyas la siguiente sucesión de números...
Y entonces, ¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Finita o infinita: Si la sucesión puedo seguir escribiéndola "para siempre", es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos.
A) {1, 2, 3, 4, ...} es una sucesión muy simple, y es una sucesión infinita.
B) {20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita. Fíjate en el patrón: Empiezo en 20 y vamos sumando 5.
C) {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares y es una sucesión finita.
D) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás. Sucesión finita.
E) {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando, o multiplicando por dos, cada término.
F) {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético. Sucesión finita.
G) {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo". Sucesión finita.
H) {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden:
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla: Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una expresión matemática!...
Vamos a verlo en el siguiente video:
Ahora veamos algunas sucesiones especiales, que son las que trabajaremos en clase.
Sucesiones o Progresiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Es decir, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Ejemplos
A) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla, o el término general, es an = 3n-2
B) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla, o término general, es an = 5n-2
Veamos el siguiente video, para ver el procedimiento del cálculo del término general de una progresión aritmética:
Sucesiones o Progresiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de la progresión.
Ejemplos: a) La sucesión:
3,6,12,24,48,...
es una progresión geométrica de razón 2. b) La sucesión:
0,0.1,0.01,0.001,...
es una progresión geométrica de razón 0.1. c) La sucesión:
1,1/4,1/16,1/64,...
es una progresión geométrica de razón 1/4.
En el siguiente video podrás profundizar en las progresiones geométricas y ver cómo se calcula el término general de una progresión geométrica.
