Sistema de coordenadas cartesianas

Próximamente vamos a empezar a ver la representación gráfica de rectas y parábolas. Para ello es necesario que sepas manejar perfectamente la colocación de puntos en el plano, para ello se utilizan los sistemas de ejes de coordenadas.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto en el plano.

Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

En el siguiente video podrás ver cómo utilizamos el sistema de ejes de coordenadas y como podemos representar cualquier punto de un plano en él.

Límites indeterminados de la forma infinito/infinito

Para resolver este tipo de indeterminaciones realizaremos un procedimiento que se basa en que se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.

Podemos recordar una regla práctica, que consiste en que:

1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

3. Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.

Veamos una explicación sobre lo explicado anteriormente en los siguientes videos:

Límites indeterminados de la forma 0/0

En los siguientes videos podrás ver cómo se resuelven las indeterminaciones de la forma 0/0.

Como los hemos trabajado en clase, intenta resolverlos antes de terminar de ver el video, si lo consigues resolver bien, significa que has aprendido el procedimiento y si has tenido algún error, te servirá para mejorar y terminar de dominar el procedimiento que se sigue para quitar este tipo de indeterminación.

Inecuaciones

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

<

menor que, por ejemplo: 5x − 2 < 9

≤

menor o igual que, por ejemplo: 12 ≤ 2x + 5

>

mayor que, por ejemplo: 4x + 3 (x - 1) > 9

≥

mayor o igual que, por ejemplo: 2x +1 ≥ 7

Veamos el procedimiento de resolución de las Inecuaciones de primer grado con una incógnita: 

1º Quitar corchetes y paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en "x" a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones

5º Si el coeficiente de la "x"  es negativo y va a pasar dividiendo, cambiaremos el sentido de la desigualdad (multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad).

6º Despejamos la incógnita.
7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

Vamos a resolver una inecuación como un ejemplo:

Por lo tanto la solución son todos los números mayores o iguales que tres,que podríamos escribir como el intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha (al tratarse del infinito)

[3, +∞)

El procedimiento de resolución de las Inecuaciones de segundo grado con una incógnita lo veremos a través de los siguientes videos:

En el siguiente enlace tienes un material publicado por el Ministerio de Educación, que aborda todos los contenidos que veremos dentro del Tema de las Inecuaciones, en formato pdf, por lo que puedes guardarlo en tu ordenador. Puedes acceder a él, "picando" en la siguiente imagen.

Resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

Este método de resolver sistemas de ecuaciones se basa en los Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones, que podríamos resumir en:

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

La clave para resolver estos sistemas es seguir el orden para hacer los ceros. Esto se llama escalonar el sistema.

1º Hacemos cero la x de la segunda ecuación reduciendola con la primera ecuación.

2º Hacemos cero la x de la tercera ecuación reduciendola con la primera ecuación.

3º Hacemos cero la y o la z de la tercera ecuación jugando con la segunda y la tercera ecuación.

4º Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones.

Veamoslo en el siguiente video: