Blog del Profesor Eloy Morales, del Instituto de Enseñanza Secundaria La Minilla, dedicado a la ayuda de su alumnado durante el curso 2016/2017 en su proceso de enseñanza y aprendizaje.
El mes de julio ha comenzado y con el los dos meses de verano, estación que puedes organizar para aprovechar todos sus días. Como me han escuchado en clase, en más de una ocasión, hay tiempo para todo... sólo que hay que programarlo.
Para empezar les propongo algunas actividades que pueden ser de repaso o de profundización. Son enlaces donde se pueden plantear algunos problemas, ejercicios, etc. Debes ser capaz también de poder seleccionar aquellas cuestiones que se dieron en clase y que necesitas mejorar para obtener un estupendo resultado en la convocatoria de septiembre.
Otro año más llega el mes de junio y el fin de la actividad académica en nuestro Centro Educativo. Quiero felicitar a todo el alumnado que ha superado la materia y animar a todos aquellos que le queda pendiente de superarla en el mes de septiembre. Un ciclo escolar que termina, una página que llega a su fin; un peldaño más que subir.
La oportunidad comienza de nuevo; no es el fin, sólo es el inicio de tu porvenir.
Durante el verano, incluiré algunos enlaces y actividades de refuerzo y ampliación de los contenidos impartidos en todos los niveles educativos que he impartido.
A todos, aprobados y suspendidos, les deseo un excelente verano y un buen comienzo, con ganas y energías recuperadas, para comenzar un nuevo curso 2017/2018.
Hemos pasado ya de las 5000 visitas al Blog, cantidad inesperada para mí. Muchas gracias a todo mi alumnado por la acogida que ha tenido el blog, esperando que les esté siendo de utilidad.
Deseo que sigan utilizándolo para preparase las próximas pruebas escritas finales. Hemos dividido, de forma consensuada en cada uno de los niveles educativos, los distintos contenidos que comprenden las dos partes en las que hemos dividido la materia de todo el curso.
Ahora es tiempo de organizarse y hacer un listado de todo lo impartido en clase, repasando y/o profundizando en los distintos procedimientos.
Mucha suerte al alumnado que los próximos días participarán en las Pruebas EBAU para entrar en la Universidad, y también, a todo mi alumnado en todas las materias que están estudiando.
Es necesario hacer un esfuerzo final. Seguro que se sentirán orgullosos del esfuerzo.
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
<
menor que, por ejemplo: 5x − 2 < 9
≤
menor o igual que, por ejemplo: 12 ≤ 2x + 5
>
mayor que, por ejemplo: 4x + 3 (x - 1) > 9
≥
mayor o igual que, por ejemplo: 2x +1 ≥ 7
Veamos el procedimiento de resolución de las Inecuaciones de primer grado con una incógnita:
1º Quitar corchetes y paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en "x" a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 4º Efectuar las operaciones
5º Si el coeficiente de la "x" es negativo y va a pasar dividiendo, cambiaremos el sentido de la desigualdad (multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad).
6º Despejamos la incógnita. 7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.
El procedimiento de resolución de las Inecuaciones de segundo grado con una incógnita lo veremos a través de los siguientes videos:
En el siguiente enlace tienes un material publicado por el Ministerio de Educación, que aborda todos los contenidos que veremos dentro del Tema de las Inecuaciones, en formato pdf, por lo que puedes guardarlo en tu ordenador. Puedes acceder a él, "picando" en la siguiente imagen.
Cario Frabetti es italiano (Bolonia, 1945), pero vive en España y escribe habitualmente en castellano. Escritor y matemático, cultiva asiduamente la divulgación científica y la literatura infantil y juvenil. Ha publicado más de treinta libros, entre los que destacan El bosque de los grumos y los protagonizados por el enano Ulrico (La magia más poderosa, Ulrico y las puertas que hablan, Ulrico y la llave de oro). Ha sido galardonado con el Premio Jaén de Narrativa Juvenil por el libro titulado El gran juego, y fue finalista del mismo con El ángel terrible (todos ellos en Editorial Alfaguara). También ha creado, escrito y/o dirigido numerosos programas de televisión, como La bola de cristal, El duende del globo y Colorín Colorado.
Si quieres descargar el libro en formato pdf, "pica" AQUÍ.
En el siglo IV después de J.C., en una de esas afortunadas coincidencias de pensamiento con que nos sorprende tantas veces la historia, los sabios de dos pueblos muy alejados entre sí, los mayas y los hindúes, inventan un signo para el concepto del vacío, de la nada: el cero.
Los árabes, que llegaron en sus conquistas a la India en el siglo VIII, lo aprendieron de los hindúes, junto con sus números, y lo adoptaron a su alfabeto combinando el rigor y los conocimientos de los grandes matemáticos griegos con la facilidad de cálculo del sistema hindú. Así se convirtieron en los creadores de las matemáticas, tal como han llegado a nosotros, las divulgaron por todo el ámbito de su imperio y, a través de Córdoba, se conocieron en los monasterios cristianos y después en Europa, aunque no se aceptaron.
El gran poder cultural del Califato de Córdoba durante los siglos IX y X no se ha estudiado apenas y casi siempre se ha comprendido mal. La ciudad de Córdoba, convertida en capital y embellecida con jardines y fuentes, tuvo una población de 500000 habitantes, mientras las grandes ciudades de Europa no alcanzaban ni la décima parte. La tolerancia de los musulmanes, que dejaban practicar su culto tanto a los judíos como a los cristianos, atrajo a los sabios de todo el mundo y produjo una gran expansión cultural, amparada por la gran biblioteca de la ciudad y los centros de estudio de todas las ciudades del Califato. En ellos, hasta los muchachos sin dinero podían estudiar porque el califa destinaba la cuarta parte de sus ingresos personales a limosnas para los pobres y becas para los estudiantes inteligentes y sin recursos.
El Señor del Cero es la historia de un mozárabe (un cristiano que siguió viviendo en las tierras dominadas por los árabes sin renunciar a su religión), buen matemático, que recorre el camino que seguía la ciencia y la cultura que llegaba a Europa: de Córdoba a los monasterios del Norte, castellanos y leoneses, navarros y catalanes. En sus bibliotecas atesoraron, junto con las copias de la Biblia y los escritos de los Santos Padres, la valiosa cultura árabe, sus traducciones de los antiguos sabios griegos y latinos y sus libros de medicina y matemáticas. Desde allí se transmitieron a una Europa de pueblos todavía semibárbaros y que, en muchos lugares, adoraban a los dioses germánicos, y todavía no estaban muy preparados para comprenderla.
Para descargar el Libro, en formato pdf, "pincha" AQUÍ.
Estoy seguro que alguna vez, te has hecho, al menos una de estas preguntas...
¿Frecuentaba realmente Arquímedes la bañera? ¿Por qué los números fueron anteriores a las letras? ¿Quién se inventó el cero? ¿Por qué contar con los dedos supuso un gran avance para la humanidad? ¿Qué matemático griego murió de forma no precisamente plácida por culpa de una raíz cuadrada? ¿Quién fue la primera mujer matemática de la historia? ¿Quién fue el primer gran líder en utilizar la criptografía para cifrar mensajes a sus tropas? ¿Quién inventó el signo de la suma? ¿Por que la raíz cuadrada tiene esa extraña forma? ¿Por qué todos los barberos del siglo XVI eran además algebristas? ¿Resolvieron Euler y Descartes el mismo problema sin saber nada el uno del otro? ¿Cuáles han sido los cuatro grandes chascos matemáticos del siglo XX? ¿A qué se retaron cuando se conocieron Unamuno y Gaudí?, ¿Qué opinaban el uno del otro Charlie Chaplin y Einstein? ¿Qué matemáticas son aplicables a las relaciones sexuales? ¿Qué gran matemático español ganó el Nobel de literatura? ¿Qué matemático dijo “Para mí el infinito empieza a partir de mil pesetas”? ¿Cuántos cráteres lunares tienen nombre de matemático? ¿A qué genio de los números homenajea la manzana de Apple?...
Un divertido paseo por la historia de las matemáticas a través de las anécdotas más jugosas y sorprendentes.
Después de llevarse a cabo todas las Pruebas Escritas para la Segunda Evaluación que tendrá lugar a partir del próximo lunes, hemos pasado de las 3500visitas al Blog. Muchos de ustedes lo han visitado y estoy encantado que les sea de utilidad.
Las Matemáticas son una asignatura que no deja indiferente a ningún estudiante. Algunos la aman y otros la odian; siendo este segundo grupo mucho más numeroso que el primero en la mayoría de las ocasiones. Sin embargo, muchos de los alumnos y alumnas que odian las matemáticas lo hacen porque no saben cómo estudiar matemáticas para obtener buenos resultados.
Matemáticas es una de esas asignaturas en las que las horas de estudio no tienen una relación directa con la nota. Por mucho que hayas estudiado, si no eres capaz de solucionar el problema del examen, estás perdido. No obstante, existen algunas técnicas para aprender matemáticas que pueden hacer que, independientemente de tu nivel, le saques más partido a tu tiempo de estudio y aumentes tus probabilidades de éxito.
Todo el profesorado de matemáticas sabe que el alumnado, en muchas ocasiones, no sabe cómo estudiar Matemáticas, por eso te voy a presentar algunos consejos que te pueden ayudar y también te propongo un video que puede aclararte algunas cuestiones sobre el estudio de esta materia.
¡Hasta es posible que te acabes uniendo al grupo de amantes de las matemáticas!
Aquí te van algunos consejos:
1. Práctica, Práctica y Más Práctica
Es imposible aprender matemáticas leyendo y escuchando. Para aprender matemáticas hay que ponerse el mono de trabajo y lanzarse a hacer ejercicios matemáticos. Cuanto más practiques, mejor. Cada ejercicio tiene sus procedimientos de resolución y es importante haber realizado el máximo número de ejercicios posibles antes de enfrentarnos al examen. Este punto es el más importante de todos y la base del resto de técnicas para estudiar matemáticas de esta lista.
2. Revisa los Errores
Cuando estés practicando con ejercicios, es muy importante que compruebes los resultados y, más importante aún, que te detengas en la parte que has fallado y examines el proceso en detalle hasta asimilarlo. De nada sirve comparar resultados si no sabes en qué te has equivocado. Por eso es conveniente que tengas unos buenos apuntes con problemas resueltos. De esta manera, evitarás cometer los mismos fallos en el futuro. También es recomendable apuntar todos tus fallos y repasarlos repetidamente antes del examen.
3. Domina los Conceptos Clave
¡No intentes aprenderte los problemas de memoria! Los problemas matemáticos pueden tener miles de variantes y particularidades, por lo que es inútil aprendernos problemas de memoria sin entenderlos. Es cambio, es mucho más efectivo dominar los conceptos importantes y el proceso de resolución de los problemas.
Recuerda que las Matemáticas son una asignatura secuencial, por lo que es importante asentar una base firme dominando los conceptos clave y teniendo claras los procedimientos matemáticos esenciales.
4. Consulta tus Dudas
Puede que en muchas ocasiones te sientas atascado en una parte de un problema o que simplemente no entiendas el proceso. Lo común en estos casos es simplemente pasar de ese problema y pasar al siguiente. Sin embargo, es recomendable despejar todas las dudas que tengas en la resolución de un problema.
Por tanto, puede ser buena idea estudiar junto a algún compañero con el que consultar dudas y trabajar juntos en problemas más complejos. O, mejor todavía, ¿por qué no visitas, más a menudo, el blog?... Sabes que en él puedes plantear tus dudas y trabajar colaborativamente?
Asimismo, recuerda plantearle al profesor las dudas que tengas en la hora de clase.
5. Crea un Ambiente de Estudio sin Distracciones
Las Matemáticas son una asignatura que requiere más concentración que ninguna otra. Un ambiente de estudio adecuado y libre de distracciones puede ser el factor determinante para conseguir resolver ecuaciones o problemas de geometría, álgebra o trigonometría complejos. Si te gusta estudiar con música, puede ser una buena idea escucharla de fondo para relajarte y favorecer un ambiente de máxima concentración. Eso sí, deja de lado Pitbull y Eminem, la música instrumental/clásica es lo más recomendable en estas ocasiones.
6. Crea un Diccionario Matemático
La asignatura de matemáticas tiene una jerga específica con mucho vocabulario propio. Te sugerimos que crees unas fichas de estudio con todos los conceptos que vas aprendiendo y su significado, para que puedas consultarlos en cualquier momento y no te sientas perdido entre tanta palabrería.
7. Aplica Problemas al Mundo Real
En la medida de lo posible, intenta aplicar los ejercicios al mundo real. Las matemáticas pueden ser una materia muy abstracta en algunas ocasiones, por lo que mirar su aplicación práctica puede ayudarte a cambiar tu perspectiva sobre ella y asimilarla de manera diferente.
Si aplicas todos estos consejos sobre cómo estudiar matemáticas, tendrás muchas probabilidades de mejorar tus notas de acceso o notas finales. Ah, y no olvides que es importante también tener confianza en uno mismo y afrontar el examen sabiendo que te has preparado adecuadamente.
En matemática, se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir, que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. O que ambas presentan un comportamiento asintótico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico.
Se distinguen tres tipos:
• Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = constante.
• Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante.
• Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
Pincha AQUÍ y podrás ver, con algunos ejemplos, cómo podemos encontrar las asíntotas de una función.
En el siguiente video también podrás ver el método o procedimiento para el cálculo de las asíntotas horizontales y verticales.
Para resolver este tipo de indeterminaciones realizaremos un procedimiento que se basa en que se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.
Podemos recordar una regla práctica, que consiste en que:
1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.
2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
3. Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.
Veamos una explicación sobre lo explicado anteriormente en los siguientes videos:
En los siguientes videos podrás ver cómo se resuelven las indeterminaciones de la forma 0/0.
Como los hemos trabajado en clase, intenta resolverlos antes de terminar de ver el video, si lo consigues resolver bien, significa que has aprendido el procedimiento y si has tenido algún error, te servirá para mejorar y terminar de dominar el procedimiento que se sigue para quitar este tipo de indeterminación.
Una funciónf(x) es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:
1.- No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
2.- No existe el límite de f en el punto x = a:
3.- La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes:
Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:
Discontinuidad evitable
Discontinuidad inevitable
Discontinuidad esencial
Discontinuidad evitable
Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Existe el límite en a y éste es finito.
La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.
Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad evitable, picando AQUÍ.
Discontinuidad inevitable
Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:
Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.
Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:
Discontinuidad inevitable de salto finito
El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.
Discontinuidad inevitable de salto infinito El salto que se produce entre límites laterales es infinito.
En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito, picando AQUÍ.
Y, AQUÍ, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Discontinuidad esencial
Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:
Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en a, al no tener límite lateral por la izquierda en x = 1.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad esencial de salto finito, picando AQUÍ.
También, en el siguiente video, podrás ver el estudio de la discontinuidad de una función a trozos.
Pues ya ha llegado el periodo vacacional, desde hoy hasta el día 8 de enero, no nos volveremos a ver en el Instituto. Espero que lo pases bien y que tengas muchos momentos felices, llenos de risas e ilusiones.
Las vacaciones escolares son un período en el cual, los chicos y chicas, necesitan recuperar fuerzas para continuar sus estudios durante el segundo semestre. El punto es que si, durante estos días de descanso, se deben llevar tareas para hacer en casa. Esto es difícil de contestar, pero bajo mi punto de vista, creo que hay suficiente tiempo durante estos días, en los que podrás organizarte, y si lo crees conveniente trabajar un poco la materia. Creo que si lo haces podría mejorar tus resultados finales, ya sea porque necesitas reforzar tus conocimientos o ya sea porque no alcanzaste los objetivos mínimos en la primera evaluación. Es tu propia decisión y sabes que es importante empezar a tomar decisiones, por ti mismo.
Debajo, he dejado unos enlaces que tratan los contenidos que hemos trabajado durante estos primeros meses de clase, para todos los niveles educativos. Como siempre sólo tendrás que picar en ellos. Todos son generalistas (para todos los niveles) y deberás buscar el nivel en el que te encuentras y los contenidos conocidos.
Todo lo que haga me lo podrás enseñar el primer día de clase y, aunque no lo recogeré, sí que valoraré las actividades que has realizado y la cantidad de ellas. "Pica" en las imágenes:
¿Qué es ApuntesMareaVerde? Es un grupo de trabajo de profesores de la enseñanza pública que llevan un tiempo elaborando materiales curriculares gratuitos.
La idea es trabajar de forma colaborativa para crear una especie de libros de texto que prefieren llamar "Apuntes del Profesor".
Todo su trabajo está elaborado por profesores y profesoras con experiencia en las aulas y por eso está muy bien adaptado a las características de los alumnos y alumnas de cada nivel y a los currículos oficiales. Además tienen la ventaja de ser absolutamente gratuitos, frente al coste elevadísimo de los Libros de Texto.
Dado que los currículos oficiales son establecidos por las administraciones educativas, puede haber cambios de unas comunidades autónomas a otras. Los libros aquí presentados están ajustados al currículo de la Comunidad Autónoma de Madrid, pero no hay mucha diferencia con la Comunidad Autónoma de Canarias, aunque el objetivo final es sólo tenerlo como referencia.
Los documentos que se pueden descargar de esta página están en formato imprimible y editable. La licencia de Creative Commons elegida, permite el uso y modificación del material siempre que no sea con fines comerciales, se cite la autoría y se mantenga el mismo tipo de licencia en las modificaciones de la obra. Se pueden vender fotocopias siempre y cuando el precio de las mismas sea el precio de las fotocopias y no se añada nada por el contenido.
En los siguientes enlaces tienes el material publicado, en Matemáticas, sólo tienes que "picar" en él y tendrás el documento en pdf, pudiéndolo guardar en tu propio ordenador, para poder consultarlo cuando lo desees.
En este video que podrás ver, se explica de manera sencilla, una introducción al concepto de límite de una función, tema fundamental en todo curso de cálculo diferencial.
Se aborda de manera breve conceptos clave como funciones, límites bilaterales, límites unilaterales y su relación con el concepto de la derivada de una función desde una interpretación geométrica, que ya veremos.
En el siguiente video veras como se presenta de una manera sencilla los teoremas o reglas básicas para resolver límites de funciones con algunos ejemplos sencillos:
La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en tres grandes etapas, que se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la separación no siempre sea nítida.
En la larga evolución del concepto (desde la matemática griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros más generales.
La denominada REVOLUCIÓN CIENTÍFICA, desarrollada desde Kepler (Siglo XVI) hasta Newton y Leibnitz (Siglo XVIII), se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos, aunque se detectó falta de cuidado en la formalización rigurosa de los conceptos matemáticos y procedimientos involucrados. Algunos de los problemas físicos, que ahora pueden parecer nimios, que se trataron fueron:
Dada la fórmula del espacio en función del tiempo, obtener la velocidad y aceleración en cualquier instante o recíprocamente, dada la aceleración o velocidad obtener la fórmula del espacio.
La obtención de la tangente a una curva. En óptica es necesario conocer la normal a una curva y en el estudio del movimiento la dirección de la tangente. Aparecen problemas de definición de tangentes en general (cuando surgen nuevas curvas) pues la definición de tangente como recta que toca en un sólo punto o deja a un lado la curva sólo sirve para algunas cónicas.
Estudio de máximos y mínimos de una función, relacionado con el movimiento de los planetas, el movimiento de proyectiles, etc.
Estudio de centros de gravedad y atracción gravitatoria.
A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último, en la que fueron determinantes la clarificación del concepto de función, la aparición de nuevos problemas matemáticos y físicos. De estos matemáticos podemos destacar a Cauchy (1789-1857).
En el siguiente video, podemos ver la noción de límite a través de la historia.
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto se aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.
Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida al matemático Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics, publicado en 1908.
En los dos siguientes videos puedes ver cómo se realiza el cálculo, de una forma muy intuitiva, de límites cuando conocemos la gráfica de la función. Además también podemos ver su continuidad.
Es importante que practiques, pon "pausa" e intenta resolverlo tú, mirando después el video para corregir los errores o saber que dominas el procedimiento.
