Calculo Integral: Integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Concepto de integral definida: La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida 

La integral definida cumple las siguientes propiedades: 

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. 
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Teorema fundamental del cálculo integral

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F(x) cumple necesariamente que:

A partir del Teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b], denominado Regla de Barrow:

• Se busca primero una función F (x) que verifique que la derivada de F(x) sea f(x).
• Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
• El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

En los siguientes videos podrás ver varios ejemplos de cálculo de áreas utilizando las integrales y aplicando la Regla de Barrow. Intenta, como siempre, poner PAUSA e intentar resolver el problema que plantea.

Inecuaciones

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

<

menor que, por ejemplo: 5x − 2 < 9

≤

menor o igual que, por ejemplo: 12 ≤ 2x + 5

>

mayor que, por ejemplo: 4x + 3 (x - 1) > 9

≥

mayor o igual que, por ejemplo: 2x +1 ≥ 7

Veamos el procedimiento de resolución de las Inecuaciones de primer grado con una incógnita: 

1º Quitar corchetes y paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en "x" a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones

5º Si el coeficiente de la "x"  es negativo y va a pasar dividiendo, cambiaremos el sentido de la desigualdad (multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad).

6º Despejamos la incógnita.
7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

Vamos a resolver una inecuación como un ejemplo:

Por lo tanto la solución son todos los números mayores o iguales que tres,que podríamos escribir como el intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha (al tratarse del infinito)

[3, +∞)

El procedimiento de resolución de las Inecuaciones de segundo grado con una incógnita lo veremos a través de los siguientes videos:

En el siguiente enlace tienes un material publicado por el Ministerio de Educación, que aborda todos los contenidos que veremos dentro del Tema de las Inecuaciones, en formato pdf, por lo que puedes guardarlo en tu ordenador. Puedes acceder a él, "picando" en la siguiente imagen.

Problemas de distintos contenidos para Segundo de Bachillerato

Hace unos días, los alumnos y alumnas del Segundo Curso de Bachillerato, se dispusieron en distintos grupos y se enfrentaron durante una hora a una colección diferente de problemas, de los distintos contenidos impartidos (estadística, álgebra, programación lineal y análisis).

En el siguiente enlace puedes descargarte los problemas de los demás grupos y les "regalo" también algunos más por si desean trabajarlos. Como siempre, las dudas las resolvemos en clase.

Accede "pinchando" AQUÍ.