Hay una serie de igualdades de gran importancia en matemáticas y que deben manejarse con soltura, son las denominadas: identidades notables.
Las identidades notables son varias expresiones algebraicas que por su utilidad conviene conocer, ya que nos pueden ahorrar mucho tiempo en operaciones laboriosas. A continuación intentaremos definirlas y explicarlas detenidamente una a una.
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Cuadrado de una suma:
(a + b)2 = a2 + 2∙a∙b + b2
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El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
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Ejemplos: (x+3)2=x2+2∙x∙3+32= x2 + 6x + 9 (3+ 2b)2= 32 + 2∙3∙2b+ (2b)2 = 9+ 12b+ 4b2 |
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Cuadrado de una diferencia (o de una resta):
(a - b)2 = a2 - 2∙a∙b + b2
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El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
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Ejemplos: (a-2)2=a2- 2∙a∙2+22=a2 - 4a + 4 (2x-y)2= (2x)2 – 2∙2x∙ y+ y2 = 4x2 – 4xy+ y2 |
Es importante saber que, aunque aplicar estas igualdades nos ayuda mucho porque se realizan menos cálculos y tenemos menos posibilidades de cometer un error, si no las dominamos o recordamos podemos utilizar la propiedad distributiva.
Así tenemos, cogiendo los ejemplos anteriores:
(x+3)2 = (x+3) · (x+3) = x2 + x∙3 + 3·x + 32 = x2 +2∙x∙3 + 32 =
x2 + 6x + 9 (que es el mismo resultado obtenido antes)
O, en el caso de la diferencia:
(a-2)2 = (a - 2) · (a - 2) = a2 - a∙2 - a·2 + 22 = a2 - 2·2·a + 4 = a2 - 4a + 4 (que es el mismo resultado obtenido antes)
ATENCIÓN: No tiene sentido, aunque se puede hacer, aplicar estas igualdades cuando se pueden realizar la operaciones expresadas entre paréntesis. En ese caso, se deben realizar en primer lugar esas operaciones:
Ejemplos:
(4 + 2)2 = 62 = 36
(5x – 2x)2 = (3x)2 = 9x2 (3+ 2)(3-2)= 5∙1= 5
En el siguiente video podrás ver cómo se realizan estos cálculos en algunos ejemplos donde podemos aplicar estas igualdades notables:
Así tenemos, cogiendo los ejemplos anteriores:
(x+3)2 = (x+3) · (x+3) = x2 + x∙3 + 3·x + 32 = x2 +2∙x∙3 + 32 =
x2 + 6x + 9 (que es el mismo resultado obtenido antes)
O, en el caso de la diferencia:
(a-2)2 = (a - 2) · (a - 2) = a2 - a∙2 - a·2 + 22 = a2 - 2·2·a + 4 = a2 - 4a + 4 (que es el mismo resultado obtenido antes)
ATENCIÓN: No tiene sentido, aunque se puede hacer, aplicar estas igualdades cuando se pueden realizar la operaciones expresadas entre paréntesis. En ese caso, se deben realizar en primer lugar esas operaciones:
Ejemplos:
(4 + 2)2 = 62 = 36
(5x – 2x)2 = (3x)2 = 9x2 (3+ 2)(3-2)= 5∙1= 5
En el siguiente video podrás ver cómo se realizan estos cálculos en algunos ejemplos donde podemos aplicar estas igualdades notables:
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