Blog del Profesor Eloy Morales, del Instituto de Enseñanza Secundaria La Minilla, dedicado a la ayuda de su alumnado durante el curso 2016/2017 en su proceso de enseñanza y aprendizaje.
Estoy seguro que alguna vez, te has hecho, al menos una de estas preguntas...
¿Frecuentaba realmente Arquímedes la bañera? ¿Por qué los números fueron anteriores a las letras? ¿Quién se inventó el cero? ¿Por qué contar con los dedos supuso un gran avance para la humanidad? ¿Qué matemático griego murió de forma no precisamente plácida por culpa de una raíz cuadrada? ¿Quién fue la primera mujer matemática de la historia? ¿Quién fue el primer gran líder en utilizar la criptografía para cifrar mensajes a sus tropas? ¿Quién inventó el signo de la suma? ¿Por que la raíz cuadrada tiene esa extraña forma? ¿Por qué todos los barberos del siglo XVI eran además algebristas? ¿Resolvieron Euler y Descartes el mismo problema sin saber nada el uno del otro? ¿Cuáles han sido los cuatro grandes chascos matemáticos del siglo XX? ¿A qué se retaron cuando se conocieron Unamuno y Gaudí?, ¿Qué opinaban el uno del otro Charlie Chaplin y Einstein? ¿Qué matemáticas son aplicables a las relaciones sexuales? ¿Qué gran matemático español ganó el Nobel de literatura? ¿Qué matemático dijo “Para mí el infinito empieza a partir de mil pesetas”? ¿Cuántos cráteres lunares tienen nombre de matemático? ¿A qué genio de los números homenajea la manzana de Apple?...
Un divertido paseo por la historia de las matemáticas a través de las anécdotas más jugosas y sorprendentes.
En esta entrada, además de definir el concepto de derivada, intentaré mostrar su significado dejando para otra entrada del blog el cómo hallar las derivadas de las funciones más usuales (técnicas de derivación).
Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue el matemático Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados.
En estas condiciones, Fermatbuscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
Veamos lo que es la VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO:
Consideremos una función y=f(x).
Si la variable independiente x pasa de un valor "a" a un valor "b", entonces la variable dependiente y pasa de un valor "f(a)" a un valor "f(b)".
La diferencia "b - a" se llama incremento de x.
La diferencia "f(b) - f(a)" recibe el nombre de incremento de y, o también tasa de variación de la función en el intervalo [a,b].
Tasa de variación en [a,b] = f(b) - f(a)
¡Qué es la TASA DE VARIACIÓN MEDIA?
Ya hemos visto que la tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece (o decrece) en un intervalo, aunque no lo suficientemente precisa.
Así, para comparar el comportamiento de una función en dos o más intervalos, es mejor calcular el crecimiento medio en cada uno de ellos (o crecimiento por unidad).
Este crecimiento medio recibe el nombre de tasa de variación media (T.V.M.) de la función f(x) en el intervalo [a,b], y se obtiene como el cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo:
Ahora bien, si tenemos en cuenta que "b" es mayor que "a", el intervalo [a , b] se puede expresar como [a , a+h], siendo "h" un número real positivo, que representa la amplitud del intervalo.
De este modo, la T.V.M. se expresaría según la expresión:
Aunque la variación media es importante, a veces lo es más la variación en un momento determinado.
Por ejemplo, a la policía de tráfico le importa más la velocidad de un vehículo al atravesar un determinado punto que su velocidad media por hora; esta velocidad puntual es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próximos; en la práctica es la que marca el velocímetro en un instante dado.
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en un punto a sería entonces la T.V.M. entre dos puntos "a" y "a+h" muy próximos. Se puede obtener tomando intervalos [a , a+h] cada vez más pequeños, o lo que es lo mismo, haciendo que h tienda a 0.
que sería la definición de la derivada.
Veamos algunos videos que explican la situación: En este te explican que son y para qué sirven...
En este vídeo se ofrece una introducción a la derivada muy intuitiva: a partir de la ley de los números impares de Galileo. Se analiza el salto que damos desde la velocidad media, a una expresión algebraica obtenida a partir del cálculo infinitesimal. Además, se repasa las diferentes maneras de expresar la derivada, y se concluye con un ejemplo aplicado a la distancia recorrida y la velocidad de un avión al despegar.
En este otro video, se insiste en qué es la derivada, empezando con una breve introducción histórica, planteando el problema geométrico que se resuelve con la definición de la derivada. Después hay una amplia explicación con la ayuda de la geometría analítica, de la ecuación de una recta, de la fórmula para encontrar la pendiente de una recta, y después con el cálculo de un límite, explicado en forma dinámica, con el programa de geometría dinámica Geogebra.
Después de llevarse a cabo todas las Pruebas Escritas para la Segunda Evaluación que tendrá lugar a partir del próximo lunes, hemos pasado de las 3500visitas al Blog. Muchos de ustedes lo han visitado y estoy encantado que les sea de utilidad.
Las Matemáticas son una asignatura que no deja indiferente a ningún estudiante. Algunos la aman y otros la odian; siendo este segundo grupo mucho más numeroso que el primero en la mayoría de las ocasiones. Sin embargo, muchos de los alumnos y alumnas que odian las matemáticas lo hacen porque no saben cómo estudiar matemáticas para obtener buenos resultados.
Matemáticas es una de esas asignaturas en las que las horas de estudio no tienen una relación directa con la nota. Por mucho que hayas estudiado, si no eres capaz de solucionar el problema del examen, estás perdido. No obstante, existen algunas técnicas para aprender matemáticas que pueden hacer que, independientemente de tu nivel, le saques más partido a tu tiempo de estudio y aumentes tus probabilidades de éxito.
Todo el profesorado de matemáticas sabe que el alumnado, en muchas ocasiones, no sabe cómo estudiar Matemáticas, por eso te voy a presentar algunos consejos que te pueden ayudar y también te propongo un video que puede aclararte algunas cuestiones sobre el estudio de esta materia.
¡Hasta es posible que te acabes uniendo al grupo de amantes de las matemáticas!
Aquí te van algunos consejos:
1. Práctica, Práctica y Más Práctica
Es imposible aprender matemáticas leyendo y escuchando. Para aprender matemáticas hay que ponerse el mono de trabajo y lanzarse a hacer ejercicios matemáticos. Cuanto más practiques, mejor. Cada ejercicio tiene sus procedimientos de resolución y es importante haber realizado el máximo número de ejercicios posibles antes de enfrentarnos al examen. Este punto es el más importante de todos y la base del resto de técnicas para estudiar matemáticas de esta lista.
2. Revisa los Errores
Cuando estés practicando con ejercicios, es muy importante que compruebes los resultados y, más importante aún, que te detengas en la parte que has fallado y examines el proceso en detalle hasta asimilarlo. De nada sirve comparar resultados si no sabes en qué te has equivocado. Por eso es conveniente que tengas unos buenos apuntes con problemas resueltos. De esta manera, evitarás cometer los mismos fallos en el futuro. También es recomendable apuntar todos tus fallos y repasarlos repetidamente antes del examen.
3. Domina los Conceptos Clave
¡No intentes aprenderte los problemas de memoria! Los problemas matemáticos pueden tener miles de variantes y particularidades, por lo que es inútil aprendernos problemas de memoria sin entenderlos. Es cambio, es mucho más efectivo dominar los conceptos importantes y el proceso de resolución de los problemas.
Recuerda que las Matemáticas son una asignatura secuencial, por lo que es importante asentar una base firme dominando los conceptos clave y teniendo claras los procedimientos matemáticos esenciales.
4. Consulta tus Dudas
Puede que en muchas ocasiones te sientas atascado en una parte de un problema o que simplemente no entiendas el proceso. Lo común en estos casos es simplemente pasar de ese problema y pasar al siguiente. Sin embargo, es recomendable despejar todas las dudas que tengas en la resolución de un problema.
Por tanto, puede ser buena idea estudiar junto a algún compañero con el que consultar dudas y trabajar juntos en problemas más complejos. O, mejor todavía, ¿por qué no visitas, más a menudo, el blog?... Sabes que en él puedes plantear tus dudas y trabajar colaborativamente?
Asimismo, recuerda plantearle al profesor las dudas que tengas en la hora de clase.
5. Crea un Ambiente de Estudio sin Distracciones
Las Matemáticas son una asignatura que requiere más concentración que ninguna otra. Un ambiente de estudio adecuado y libre de distracciones puede ser el factor determinante para conseguir resolver ecuaciones o problemas de geometría, álgebra o trigonometría complejos. Si te gusta estudiar con música, puede ser una buena idea escucharla de fondo para relajarte y favorecer un ambiente de máxima concentración. Eso sí, deja de lado Pitbull y Eminem, la música instrumental/clásica es lo más recomendable en estas ocasiones.
6. Crea un Diccionario Matemático
La asignatura de matemáticas tiene una jerga específica con mucho vocabulario propio. Te sugerimos que crees unas fichas de estudio con todos los conceptos que vas aprendiendo y su significado, para que puedas consultarlos en cualquier momento y no te sientas perdido entre tanta palabrería.
7. Aplica Problemas al Mundo Real
En la medida de lo posible, intenta aplicar los ejercicios al mundo real. Las matemáticas pueden ser una materia muy abstracta en algunas ocasiones, por lo que mirar su aplicación práctica puede ayudarte a cambiar tu perspectiva sobre ella y asimilarla de manera diferente.
Si aplicas todos estos consejos sobre cómo estudiar matemáticas, tendrás muchas probabilidades de mejorar tus notas de acceso o notas finales. Ah, y no olvides que es importante también tener confianza en uno mismo y afrontar el examen sabiendo que te has preparado adecuadamente.
En matemática, se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir, que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. O que ambas presentan un comportamiento asintótico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico.
Se distinguen tres tipos:
• Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = constante.
• Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante.
• Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
Pincha AQUÍ y podrás ver, con algunos ejemplos, cómo podemos encontrar las asíntotas de una función.
En el siguiente video también podrás ver el método o procedimiento para el cálculo de las asíntotas horizontales y verticales.
La nueva prueba de acceso a la Universidad ya tiene nombre. A partir de ahora los estudiantes ya pueden a comenzar a familiarizarse con el acrónimo EBAU, que será como se conozca a partir de ahora a la Evaluación de Bachillerato de Acceso a la Universidad.
En el siguiente enlace tienes toda la información sobre la EBAU que ha publicado la Consejería de Educación y Universidades del Gobierno de Canarias, tales como: Características de la Prueba, Notas de Corte y ponderación de las distintas materias, exámenes, recursos y coordinación de las diferentes materias junto con la Normativa publicada y algunas direcciones de interés.
FUNCIONES LINEALES: RECTAS Las funciones lineales responden a la ecuación:
y = mx + n,
y se representan mediante rectas.
En la ecuación y = mx + n, el parámetro m se llama pendiente de la recta, y tiene que ver con su inclinación respecto al eje X. El parámetro n se llama ordenada en el origen, es decir, la recta siempre pasa por el punto de coordenadas (0,n).
Para conocer la ecuación (y = mx + n) de una recta, basta con conocer los parámetros m y n.
La pendiente de una recta es la variación de la variable y (aumento o disminución) cuando la variable x aumenta una unidad.
Nos podemos encontrar las siguientes situaciones:
FUNCIONES CUADRÁTICAS: PARÁBOLAS
La parábolaes la curva que describe cualquier objeto al ser lanzado: un balón de fútbol, una piedra, el proyectil de un cañón, la caída del agua desde un desagüe elevado, ...
La ecuación general de una parábola se representa mediante una expresión de 2º grado, llamada cuadrática:
y = a x2 + b x + c
donde el parámetro a tiene que ser distinto de cero (si fuera cero, tendríamos una función lineal - una recta)
Podemos encontrarnos distintas situaciones cuando hacemos intersecciones entre estas funciones:
En el siguiente video podrás ver cómo se calculan, gráficamente y de forma algebraica, los puntos de corte de una recta y una parábola. Como siempre, intenta primero resolver el problema tú, y después comprueba tus avances, poniéndolo en "Pausa".
En el siguiente enlace, al que accedes "picando" en la siguiente imagen, podrás practicar y ver el procedimiento de realizar un gráfico de rectas y parábolas, con múltiples ejercicios propuestos y resueltos.
Desde esta pagina puedes representar gráficamente parábolas y hallas intersecciones online. También puedes representar una recta y hallar los puntos de intersección. Es ideal para los alumnos principiantes, que desean verificar las soluciones obtenidas analíticamente. Su uso es muy simple pero debes hacer una serie de problemas fáciles antes de comenzar a usar el software, que lógicamente no es profesional… espero pueda serte útil.
Además de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinómicas con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática.
Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma:
y = ax^2 + bx + c,
donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.
Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.
Veamos en el siguiente video cómo representamos las funciones cuadráticas, llamadas parábolas.
En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:
f(x) = mx + n
donde "m" y "n" son números reales y "x" es una variable real. La constante "m" es lo que se denomina la pendiente de la recta, y "n" es el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas, es decir el (0,n).
Si se modifica "m" entonces se modifica la "inclinación" de la recta, y si se modifica "n", entonces la línea se desplazará "hacia arriba o hacia abajo", en el sistema de ejes de coordenadas.
En algunos libros llaman función lineal a aquella con n = 0 de la forma:
f(x) = mx
(se caracteriza porque pasa por el origen de coordenadas)
mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
f(x) = mx + n
(se caracteriza porque nunca pasa por el origen de coordenadas)
En el siguiente video podrás ver como se representa en un sistema de ejes de coordenadas este tipo de funciones.
La Programación Lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada Función Objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales.
El método tradicionalmente usado para resolver problemas de programación lineal es el Método Simplex. La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución.
Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.
En el siguiente video podrás ver una explicación sobre cómo resolvemos un problema de programación lineal.
Si "picas" en la siguiente imagen podrás acceder a una presentación en PowerPoint, explicando el método de resolución de un PPL (Problema de Programación Lineal).
Próximamente vamos a empezar a ver la representación gráfica de rectas y parábolas. Para ello es necesario que sepas manejar perfectamente la colocación de puntos en el plano, para ello se utilizan los sistemas de ejes de coordenadas.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto en el plano.
Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
En el siguiente video podrás ver cómo utilizamos el sistema de ejes de coordenadas y como podemos representar cualquier punto de un plano en él.
Para resolver este tipo de indeterminaciones realizaremos un procedimiento que se basa en que se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.
Podemos recordar una regla práctica, que consiste en que:
1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.
2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
3. Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.
Veamos una explicación sobre lo explicado anteriormente en los siguientes videos:
En los siguientes videos podrás ver cómo se resuelven las indeterminaciones de la forma 0/0.
Como los hemos trabajado en clase, intenta resolverlos antes de terminar de ver el video, si lo consigues resolver bien, significa que has aprendido el procedimiento y si has tenido algún error, te servirá para mejorar y terminar de dominar el procedimiento que se sigue para quitar este tipo de indeterminación.
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
<
menor que, por ejemplo: 5x − 2 < 9
≤
menor o igual que, por ejemplo: 12 ≤ 2x + 5
>
mayor que, por ejemplo: 4x + 3 (x - 1) > 9
≥
mayor o igual que, por ejemplo: 2x +1 ≥ 7
Veamos el procedimiento de resolución de las Inecuaciones de primer grado con una incógnita:
1º Quitar corchetes y paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en "x" a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 4º Efectuar las operaciones
5º Si el coeficiente de la "x" es negativo y va a pasar dividiendo, cambiaremos el sentido de la desigualdad (multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad).
6º Despejamos la incógnita. 7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.
El procedimiento de resolución de las Inecuaciones de segundo grado con una incógnita lo veremos a través de los siguientes videos:
En el siguiente enlace tienes un material publicado por el Ministerio de Educación, que aborda todos los contenidos que veremos dentro del Tema de las Inecuaciones, en formato pdf, por lo que puedes guardarlo en tu ordenador. Puedes acceder a él, "picando" en la siguiente imagen.
Este método de resolver sistemas de ecuaciones se basa en los Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones, que podríamos resumir en:
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
La clave para resolver estos sistemas es seguir el orden para hacer los ceros. Esto se llama escalonar el sistema.
1º Hacemos cero la x de la segunda ecuación reduciendola con la primera ecuación.
2º Hacemos cero la x de la tercera ecuación reduciendola con la primera ecuación.
3º Hacemos cero la y o la z de la tercera ecuación jugando con la segunda y la tercera ecuación.
4º Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones.
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Puedes ver, además de los ejercicios que hemos hecho en clase, el procedimiento de resolución de este tipo de ecuaciones.
Si quieres resolver más ecuaciones exponenciales, "pincha" en la siguiente imagen, donde se incluyen las soluciones, y como siempre, ¡¡inténtalo tu primero!!:
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.
La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
Por ejemplo,
Las soluciones serán: x = 2, y = 3, ya que, si sustituimos la "x" por el valor 2 y la "y" por el valor 3, obtendremos una igualdad (cualquier otro valor que le demos a la "x" o a la "y" no verifica las dos ecuaciones dadas) :
Existen tres métodos para resolver los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, veamos cada uno de ellos:
Método de sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Metodo de igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Metodo de Reducción
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Puedes ver un video explicativo, y como siempre, intenta hacerlo tú antes de terminar de verlo, poniendo "pausa".
Otro ejemplo más...
Estos procedimientos lo emplearemos en resolver problemas como el de la siguiente imagen...
