Blog del Profesor Eloy Morales, del Instituto de Enseñanza Secundaria La Minilla, dedicado a la ayuda de su alumnado durante el curso 2016/2017 en su proceso de enseñanza y aprendizaje.
Resolver una ecuación logarítmica consiste en determinar para qué valores de la incógnita (x) la igualdad se convierte en identidad.
Es importante conocer las propiedades de los logaritmos para poder resolver estas ecuaciones, que se convierten normalmente en otra ecuación de primer o segundo grado.
Te recuerdo la definición de logarítmo:
y las propiedades, que hemos trabajado, de los logaritmos:
Es importante comprobar la solución en la ecuación de partida porque recordarán que no existen los logaritmos de los números negativos.
En los siguientes videos, veras cómo se resuelven algunas ecuaciones logarítmicas.
Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.
Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.
¿Qué es un problema?
Quizás hayas pensado que siempre en la clase de matemáticas has resuelto problemas. Pues te digo que no, la mayoría de las veces, en clase, se resuelven y se hacen ejercicios. Veamos las diferencias entre Ejercicios y Problemas.
EJERCICIOS
De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
Proponen tareas perfectamente definidas.
PROBLEMAS
Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.
Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.
ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR
Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones:
La actitud inicial es importante
Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?
Ten confianza en tus capacidades
Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.
Sé paciente y constante
No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.
Concéntrate en lo que haces
Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.
Busca el éxito a largo plazo
Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.
Aquí te dejo unos cuantos videos donde se plantean problemas y que se resuelven aplicando ecuaciones de primer grado, y cómo no, pensando y razonando al plantear las ecuaciones necesarias. Intenta plantear tú la ecuación, poniendo pausa en el video, y después comprueba tus errores o aciertos.
Una funciónf(x) es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:
1.- No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
2.- No existe el límite de f en el punto x = a:
3.- La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes:
Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:
Discontinuidad evitable
Discontinuidad inevitable
Discontinuidad esencial
Discontinuidad evitable
Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Existe el límite en a y éste es finito.
La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.
Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad evitable, picando AQUÍ.
Discontinuidad inevitable
Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:
Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.
Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:
Discontinuidad inevitable de salto finito
El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.
Discontinuidad inevitable de salto infinito El salto que se produce entre límites laterales es infinito.
En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito, picando AQUÍ.
Y, AQUÍ, puedes ver un ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Discontinuidad esencial
Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:
Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en a, al no tener límite lateral por la izquierda en x = 1.
Si quieres, puedes ver un ejemplo de discontinuidad esencial de salto finito, picando AQUÍ.
También, en el siguiente video, podrás ver el estudio de la discontinuidad de una función a trozos.
Hay una serie de igualdades de gran importancia en matemáticas y que deben manejarse con soltura, son las denominadas: identidades notables.
Las identidades notables son varias expresiones algebraicas que por su utilidad conviene conocer, ya que nos pueden ahorrar mucho tiempo en operaciones laboriosas. A continuación intentaremos definirlas y explicarlas detenidamente una a una.
Cuadrado de una suma:
(a + b)2 = a2 + 2∙a∙b + b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Es importante saber que, aunque aplicar estas igualdades nos ayuda mucho porque se realizan menos cálculos y tenemos menos posibilidades de cometer un error, si no las dominamos o recordamos podemos utilizar la propiedad distributiva. Así tenemos, cogiendo los ejemplos anteriores: (x+3)2 = (x+3) · (x+3) = x2 + x∙3 + 3·x + 32 = x2+2∙x∙3 + 32 = x2 + 6x + 9 (que es el mismo resultado obtenido antes)
O, en el caso de la diferencia: (a-2)2 = (a - 2) · (a - 2) = a2 - a∙2 - a·2 + 22 = a2 - 2·2·a + 4 = a2 - 4a + 4 (que es el mismo resultado obtenido antes) ATENCIÓN: No tiene sentido, aunque se puede hacer, aplicar estas igualdades cuando se
pueden realizar la operaciones expresadas entre paréntesis. En ese caso, se deben realizar en
primer lugar esas operaciones:
Ejemplos:
(4 + 2)2 = 62 = 36
(5x – 2x)2 = (3x)2 = 9x2
(3+ 2)(3-2)= 5∙1= 5 En el siguiente video podrás ver cómo se realizan estos cálculos en algunos ejemplos donde podemos aplicar estas igualdades notables:
Pues ya ha llegado el periodo vacacional, desde hoy hasta el día 8 de enero, no nos volveremos a ver en el Instituto. Espero que lo pases bien y que tengas muchos momentos felices, llenos de risas e ilusiones.
Las vacaciones escolares son un período en el cual, los chicos y chicas, necesitan recuperar fuerzas para continuar sus estudios durante el segundo semestre. El punto es que si, durante estos días de descanso, se deben llevar tareas para hacer en casa. Esto es difícil de contestar, pero bajo mi punto de vista, creo que hay suficiente tiempo durante estos días, en los que podrás organizarte, y si lo crees conveniente trabajar un poco la materia. Creo que si lo haces podría mejorar tus resultados finales, ya sea porque necesitas reforzar tus conocimientos o ya sea porque no alcanzaste los objetivos mínimos en la primera evaluación. Es tu propia decisión y sabes que es importante empezar a tomar decisiones, por ti mismo.
Debajo, he dejado unos enlaces que tratan los contenidos que hemos trabajado durante estos primeros meses de clase, para todos los niveles educativos. Como siempre sólo tendrás que picar en ellos. Todos son generalistas (para todos los niveles) y deberás buscar el nivel en el que te encuentras y los contenidos conocidos.
Todo lo que haga me lo podrás enseñar el primer día de clase y, aunque no lo recogeré, sí que valoraré las actividades que has realizado y la cantidad de ellas. "Pica" en las imágenes:
¿Qué es ApuntesMareaVerde? Es un grupo de trabajo de profesores de la enseñanza pública que llevan un tiempo elaborando materiales curriculares gratuitos.
La idea es trabajar de forma colaborativa para crear una especie de libros de texto que prefieren llamar "Apuntes del Profesor".
Todo su trabajo está elaborado por profesores y profesoras con experiencia en las aulas y por eso está muy bien adaptado a las características de los alumnos y alumnas de cada nivel y a los currículos oficiales. Además tienen la ventaja de ser absolutamente gratuitos, frente al coste elevadísimo de los Libros de Texto.
Dado que los currículos oficiales son establecidos por las administraciones educativas, puede haber cambios de unas comunidades autónomas a otras. Los libros aquí presentados están ajustados al currículo de la Comunidad Autónoma de Madrid, pero no hay mucha diferencia con la Comunidad Autónoma de Canarias, aunque el objetivo final es sólo tenerlo como referencia.
Los documentos que se pueden descargar de esta página están en formato imprimible y editable. La licencia de Creative Commons elegida, permite el uso y modificación del material siempre que no sea con fines comerciales, se cite la autoría y se mantenga el mismo tipo de licencia en las modificaciones de la obra. Se pueden vender fotocopias siempre y cuando el precio de las mismas sea el precio de las fotocopias y no se añada nada por el contenido.
En los siguientes enlaces tienes el material publicado, en Matemáticas, sólo tienes que "picar" en él y tendrás el documento en pdf, pudiéndolo guardar en tu propio ordenador, para poder consultarlo cuando lo desees.
En este video que podrás ver, se explica de manera sencilla, una introducción al concepto de límite de una función, tema fundamental en todo curso de cálculo diferencial.
Se aborda de manera breve conceptos clave como funciones, límites bilaterales, límites unilaterales y su relación con el concepto de la derivada de una función desde una interpretación geométrica, que ya veremos.
En el siguiente video veras como se presenta de una manera sencilla los teoremas o reglas básicas para resolver límites de funciones con algunos ejemplos sencillos:
La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en tres grandes etapas, que se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la separación no siempre sea nítida.
En la larga evolución del concepto (desde la matemática griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros más generales.
La denominada REVOLUCIÓN CIENTÍFICA, desarrollada desde Kepler (Siglo XVI) hasta Newton y Leibnitz (Siglo XVIII), se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos, aunque se detectó falta de cuidado en la formalización rigurosa de los conceptos matemáticos y procedimientos involucrados. Algunos de los problemas físicos, que ahora pueden parecer nimios, que se trataron fueron:
Dada la fórmula del espacio en función del tiempo, obtener la velocidad y aceleración en cualquier instante o recíprocamente, dada la aceleración o velocidad obtener la fórmula del espacio.
La obtención de la tangente a una curva. En óptica es necesario conocer la normal a una curva y en el estudio del movimiento la dirección de la tangente. Aparecen problemas de definición de tangentes en general (cuando surgen nuevas curvas) pues la definición de tangente como recta que toca en un sólo punto o deja a un lado la curva sólo sirve para algunas cónicas.
Estudio de máximos y mínimos de una función, relacionado con el movimiento de los planetas, el movimiento de proyectiles, etc.
Estudio de centros de gravedad y atracción gravitatoria.
A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último, en la que fueron determinantes la clarificación del concepto de función, la aparición de nuevos problemas matemáticos y físicos. De estos matemáticos podemos destacar a Cauchy (1789-1857).
En el siguiente video, podemos ver la noción de límite a través de la historia.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión general de una ecuación cuadrática de una variable es:
donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es lo que se denomina coeficiente cuadrático (que tiene que ser distinto de 0, porque si fuera cero, tendríamos una ecuación de primer grado), b es lo que se llama el coeficiente lineal y a c se le llama el término independiente.
Las ecuaciones de segundo grado y la forma de encontrar su solución se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones).
La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos.
En el siguiente video verás cómo resolvemos ecuaciones de segundo grado completas, es decir, que ninguno de los valores b y c sean cero.
En el siguiente video verás cómo podemos resolver ecuaciones de segundo grado incompletas, es decir, que alguno de los valores b y/o c sean cero.
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto se aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.
Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida al matemático Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics, publicado en 1908.
En los dos siguientes videos puedes ver cómo se realiza el cálculo, de una forma muy intuitiva, de límites cuando conocemos la gráfica de la función. Además también podemos ver su continuidad.
Es importante que practiques, pon "pausa" e intenta resolverlo tú, mirando después el video para corregir los errores o saber que dominas el procedimiento.
Es importante ver como la descomposición factorial de polinomios nos puede ayudar a aplicarla en la resolución de ecuaciones de grado superior a dos, utilizando el conocido método de Ruffini.
Veamos algunos ejemplos en los siguientes videos. Es importante que, como ya hemos resuelto algunos de ellos en clase, intentes resolverlos tú poniendo "pausa" en el video. Sabes bien que si no practicas no recuerdas los procedimientos que usamos en la resolución de problemas.
Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas. Por ejemplo,
es una función definida a trozos, en cada “trozo” de su dominio tiene una definición. Para valores de la variable menores o iguales que −2 la función está definida como x^2 + x − 4 ; si la variable está entre −2 y 3 la función es x + 1 y entre 3 y 10 es igual a 2.5.
Observa, además, que su dominio de definición es (-∞, 10), porque no está definida para valores mayores o iguales que 10.
Aquí les dejo algunos ejemplos sobre cómo podemos representar las denominadas funciones a trozos:
Un aspecto importante de las funciones es representar su gráfica asociada. Veremos cómo representamos rectas (funciones de primer grado) en un sistema de ejes cartesianos y también cómo representamos parábolas (funciones de segundo grado o cuadráticas). Son contenidos previos que debes dominar.
En los siguientes videos podrás ver algunos ejercicios, como los que hemos hecho en clase, de ecuaciones de primer grado. hay dos videos donde podrás ver el procedimiento que se sigue para resolverlos.
Intenta resolverlos antes de ver totalmente el video, así podrás ver donde has fallado o comprobar que sabes realizar este tipo de ejercicios.
En los dos siguientes videos podrás ver y profundizar en los procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones bicuadradas (son de cuarto grado, por lo que pueden tener cuatro soluciones) y las ecuaciones radicales, donde la incógnita o indeterminada se encuentra bajo el signo radical (y en las que siempre hay que comprobar las soluciones).
Si crees que dominas el procedimiento, puedes intentar resolverlas antes de ver el video. Practicar es sumamente importante.
Después de haberse realizado las distintas Pruebas Escritas en los distintos niveles educativos, celebrarse las reuniones de los Equipos Educativos (conjunto de profesores y profesores que imparten a un mismo grupo de alumnos y alumnas), entregarse los Boletines de Calificaciones de cada uno de mis alumnos y alumnas, pudieron observar que, además de la calificación numérica, a todos les puse algún Comentario sobre lo que pensaba sobre su proceso de aprendizaje. Algunos están trabajando bien, se esfuerzan y consiguen un estupendo o buen resultado; otros se han esforzado, pero carecían de algunos conocimientos previos de la materia y tendrán que seguir esforzándose para poder obtener un buen resultado final, pero, también, existen algunos alumnos y alumnas en los distintos grupos que no están trabajando lo suficiente los distintos contenidos de la materia, que tienen que visitar más el blog, que tienen que practicar más en casa las actividades, los distintos procedimientos para realizar los ejercicios y aplicarlos en los problemas que hacemos en clase.
En la última Entrada del Blog, les comenté que habíamos llegado a las 1000 visitas, pero, si antes estaba orgulloso, hoy lo estoy mucho más pues tuvo mas de 500 visitas durante el periodo de preparación de las distintas Pruebas. Desde aquí, les animo a todos y todas a seguir trabajando la asignatura, estando seguro que se sentirán mejor ustedes mismos. ¡¡Muchos Ánimos!!
Antes del comienzo del periodo vacacional, pondré una entrada con un conjunto de actividades, por si quieres trabajar durante ese tiempo.
