Blog del Profesor Eloy Morales, del Instituto de Enseñanza Secundaria La Minilla, dedicado a la ayuda de su alumnado durante el curso 2016/2017 en su proceso de enseñanza y aprendizaje.
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.
El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías, tendremos un suceso A y su contrario (a las que se denomina éxito y fracaso) y las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1 - p).
Además cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B( n , p ).
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n experimentos.
En el siguiente video veras como distinguiremos cuando una variable aleatoria es binomial.
Inferir: Sacar una consecuencia de una cosa. Sacar consecuencia o deducir una cosa de otra.
La estadística, ciencia o rama de las Matemáticas que se ocupa de recoger datos, analizarlos y organizarlos, y de realizar las predicciones que sobre esos datos puedan deducirse, tiene dos vertientes básicas:
Estadística descriptiva: Básicamente se ocupa de contenidos impartidos en 1º de Bachillerato, es decir, a partir de ciertos datos, analizarlos y organizarlos. Es aquí donde tiene sentido calcular la media, mediana, moda, desviación típica, etc.
Estadística inferencial: Se ocupa de predecir, sacar conclusiones, para una población tomando como base una muestra (es decir, una parte) de dicha población. Como todas las predicciones, siempre han de hacerse bajo un cierto grado de fiabilidad o confianza.
Será ésta última vertiente de la estadística la que estudiemos en este tema.
La inferencia estadística es el conjunto de métodos y técnicas que permiten inducir, a partir de la información empírica proporcionada por una muestra, cual es el comportamiento de una determinada población con un riesgo de error medible en términos de probabilidad.
Se aplica el denominado Teorema del Límite Central:
Veremos, en el siguiente video, como trabajamos con las medias y proporciones muestrales.
Las estadísticas de por sí no tienen sentido si no se consideran o se relacionan dentro del contexto con que se trabajan. Por lo tanto es necesario entender los conceptos de población y de muestra para lograr comprender mejor su significado en la investigación educativa o social que se lleva a cabo.
La POBLACIÓN es el conjunto total de individuos, objetos o medidas que poseen algunas características comunes observables en un lugar y en un momento determinado. Cuando se vaya a llevar a cabo alguna investigación debe de tenerse en cuenta algunas características esenciales al seleccionarse la población bajo estudio.
Entre éstas tenemos:
Homogeneidad, es decir, que todos los miembros de la población tengan las mismas características según las variables que se vayan a considerar en el estudio o investigación.
Tiempo, con esto nos referimos al período de tiempo donde se ubicaría la población de interés. Determinar si el estudio es del momento presente o si se va a estudiar a una población de cinco años atrás o si se van a entrevistar personas de diferentes generaciones.
Espacio, con ello indicamos el lugar donde se ubica la población de interés. Un estudio no puede ser muy abarcador y por falta de tiempo y recursos hay que limitarlo a un área o comunidad en específico.
Cantidad, se refiere al tamaño de la población. El tamaño de la población es sumamente importante porque ello determina o afecta al tamaño de la muestra que se vaya a seleccionar, además que la falta de recursos y tiempo también nos limita la extensión de la población que se vaya a investigar.
La MUESTRA es un subconjunto fielmente representativo de la población.
Hay diferentes tipos de muestreo. El tipo de muestra que se seleccione dependerá de la calidad y cuán representativo se quiera sea el estudio de la población.
ALEATORIO SIMPLE: cuando se selecciona al azar y cada miembro tiene igual oportunidad de ser incluido.
ESTRATIFICADO: cuando se subdivide en estratos o subgrupos según las variables o características que se pretenden investigar. Cada estrato debe corresponder proporcionalmente a la población.
SISTEMÁTICO: cuando se establece un patrón o criterio al seleccionar la muestra. Ejemplo: se entrevistará una familia por cada diez que se detecten.
El muestreo es indispensable para el investigador ya que es imposible entrevistar a todos los miembros de una población debido a problemas de tiempo, recursos y esfuerzo. Al seleccionar una muestra lo que se hace es estudiar una parte o un subconjunto de la población, pero que la misma sea lo suficientemente representativa de ésta para que luego pueda generalizarse con seguridad de ellas a la población.
El tamaño de la muestra depende de la precisión con que el investigador desea llevar a cabo su estudio, pero por regla general se debe usar una muestra tan grande como sea posible de acuerdo a los recursos que haya disponibles. Entre más grande la muestra mayor posibilidad de ser más representativa de la población.
En la investigación experimental, por su naturaleza y por la necesidad de tener control sobre las variables, se recomienda muestras pequeñas que suelen ser de por lo menos 30 sujetos.
En la investigación descriptiva se emplean muestras grandes y algunas veces se recomienda seleccionar de un 10 a un 20 por ciento de la población accesible.
Las razones para estudiar muestras en lugar de poblaciones son diversas y entre ellas podemos señalar:
Ahorrar tiempo. Estudiar a menos individuos es evidente que lleva menos tiempo y como consecuencia ello ahorraremos costes.
Estudiar la totalidad de los pacientes o personas con una característica determinada en muchas ocasiones puede ser una tarea inaccesible o imposible de realizar.
Aumentar la calidad del estudio. Al disponer de más tiempo y recursos, las observaciones y mediciones realizadas a un reducido número de individuos pueden ser más exactas y plurales que si las tuviésemos que realizar a una población.
La selección de muestras específicas nos permitirá reducir la heterogeneidad de una población al indicar los criterios de inclusión y/o exclusión.
En los siguientes videos veras todo esto explicado y comprobarás que el uso de poblaciones y muestras se usa desde hace más tiempo del que creías.
Un Diagrama de Árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de muchas probabilidades se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y, lo que es más importante, que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de valer 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad:
Por ejemplo, multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto. Ejemplo:
Una universidad está formada por tres facultades: La 1ª con el 50% de estudiantes. La 2ª con el 25% de estudiantes. La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.
Construimos el diagrama de árbol, partiendo de la primera información que tenemos: las facultades que forman la universidad y de cada una de las facultades saldrán don ramas para indicar el porcentaje de mujeres y hombres, colocando encima de cada rama su probabilidad y comprobando que su suma sea la unidad.
Cómo resolveríamos la siguiente cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
Multiplicando las ramas de 1ª facultad y que sea mujer, tendremos:
P(alumna de la 1a facultad) = 0,5⋅0,6 = 0,3
Y, cómo resolveríamos ahora esta cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón?
Multiplicando las probabilidades de las ramas de 1ª facultad y que sea hombre, mas la multiplicación de las probabilidades de las ramas de 2ª facultad y que sea hombre y también habrá que sumarle la probabilidad de multiplicar las probabilidades de las ramas de la 3ª facultad y que sea hombre, por lo que tendremos:
A continuación, les dejo tres videos explicativos donde se aplica, en diferentes problemas, la construcción de un diagrama de árbol.
Aconsejo que, ante los problemas que platean en los videos, intentes resolverlos tú previamente, copiándolos en una hoja, intentando construir tu diagrama de árbol y comprobarlo con el que plantea el video. Saben bien, que si no lo intento... no lo consigo.
Les propongo ver cómo se resuelven algunos ejercicios, explicados paso a paso, cuando aparecen distintas potencias y cómo aplicamos las propiedades de las potencias que hemos visto hasta ahora.
Continuamos repasando las propiedades de las potencias. Espero que este video te ayude a reforzar lo aprendido, y que hemos visto en clase, haciendo ejercicios.
Las propiedades con las que trabajamos las potencias, y su dominio por tu parte, es fundamental para poder seguir avanzando en tus conocimientos matemáticos.
Intenta comprender lo que ves en el video y, como siempre, si tienes alguna duda, pregúntamela en clase.
El concepto de Potencia de un Número lo llevas manejando desde hace ya algunos años, pero quizás sería conveniente que le echaras un vistazo a estos videos que nos aclaran algunas ideas importantes sobre las potencias.
Puede que resulte fácil. Si es así, estupendo, porque has afianzado aún más la confianza que tienes sobre tus conocimientos.
También puede que, al principio te resultara difícil, pero estoy seguro, que después de haber visualizado los videos, las ideas las tendrás más claras para poder trabajar, con operaciones combinadas, las potencias.
Y, como siempre, si tienes alguna duda, pregúntamela en clase.
Además de las técnicas que puedas tener para resolver los distintos ejercicios de operaciones combinadas con números, es importante poder aplicar en distintas situaciones problemáticas lo aprendido.
Por esa razón hemos planteado y resulto en clase múltiples problemas con fracciones.
Si quieres aprender más, puedes "picar" en la siguiente imagen.
Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo.
Es decir, una fracción común a/b con numerador "a" y denominador "b" distinto de cero.
El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien ) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos).
Este conjunto de Números Racionales incluye a los Números
Enteros (), y es un subconjunto de los denominados Números Reales ().
En los siguientes videos tienes algunos ejemplos de como realizar operaciones combinadas de sumas, rectas, multiplicaciones y divisiones de números racionales.
También, todos estos contenidos, los has trabajado en 2º de la ESO.
Los números son signos o conjuntos de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. El concepto proviene del latín numĕrus y posibilita diversas clasificaciones que dan a lugar a conjuntos como los números naturales (1, 2, 3, 4…), los números racionales y otros.
Los Números Enteros abarcan a los denominados Números Naturales (los números que, normalmente, se utilizan para contar, 1, 2, 3,...), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).
Los números enteros negativos tienen diversas aplicaciones prácticas. Con ellos se puede señalar una temperatura bajo cero (“En estos momentos, la temperatura en Tejeda es de -5ºC”) o una profundidad bajo el nivel del mar (“El barco hundido fue hallado a -135 metros”).
Es importante tener en cuenta que los números enteros son el resultado de las operaciones más básicas (suma y resta), por lo que su utilización se remonta a la antigüedad. Los matemáticos hindúes del siglo VI ya postulaban la existencia de números negativos. De la misma forma, tampoco podemos pasar por alto el hecho de que también podemos llevar a cabo tareas de multiplicación con los llamados números enteros. En este caso es importante subrayar que ahí hay que realizar la determinación, por un lado, de lo que son los signos de los números que participan en la operación y por otro lado, del producto de los valores absolutos.
Así, en el primer caso, en el de los signos, hay que subrayar una serie de reglas que hay que tener muy en cuenta. De tal manera que:
Veamos algunos ejemplos de ellos para entender estas reglas:
(+ 5) · (+ 6) = +30
(- 8) · (- 2) = +16
(+ 4) : (- 2) = - 2
(- 6) : (+ 3) = – 18
Veremos, en el siguiente video, cómo resolver operaciones combinadas de números enteros, positivos y negativos, donde hay suma, resta, multiplicación y división, con paréntesis, es decir, lo que se denomina operaciones combinadas con números enteros.
Para resolverlos de forma correcta, tendremos que tener clara la jerarquía de las operaciones combinadas. Recuerda que ya tuviste que resolver ejercicios de este tipo en 2º de la ESO.
Es interesante conocer las propiedades de los logaritmos, aplicarlas en múltiples ejercicios donde debe manifestarse nuestro conocimiento y dominio de las operaciones con potencias es nuestro objetivo en este curso académico, pero también es muy importante conocer que no es un concepto abstracto sino que tiene mucha aplicabilidad como podemos ver en el siguiente video.
Un concepto muy importante en el estudio de las probabilidades es la Probabilidad Condicionada.
Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás.
La probabilidad condicionada, se trata del cálculo de la probabilidad de que me ocurra un suceso A, cuando sabemos que ha ocurrido un suceso B, y lo representamos por P(A/B).
En el siguiente video podrás analizar de forma específica su definición completándose con un ejercicio de probabilidad condicionada explicado, paso a paso, de forma sencilla y clara.
Uno de los conceptos más difíciles de entender en las matemáticas estudiantiles actuales es el concepto de logaritmo. Esta dificultad se acrecienta cuando lo único que se enseña de los logaritmos es "pura algorítmica de cálculo" sin mucha noción de comprensión.
Por otro lado, el avance para el cálculo y para la ciencia que supuso "la estrategia de los logaritmos", ha dejado de tener sentido desde que llegaron a nuestras manos las calculadoras.
Porque:
* Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a números muy grandes o, números con muchos decimales.
* "El logaritmo" transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y una raíz en una división sencilla.
* Se usaban tablas que permitía obtener el logaritmo de cada número con una buena aproximación y, el proceso inverso, es decir, sabiendo el logaritmo, determinar el número al que le correspondía.
Para aclarar bien algunas de las ideas con las que trabajaremos en clase, les presento dos videos.
En este primer video, aunque se realizan algunas operaciones con los logaritmos, nos da una idea de para qué sirven los logaritmos. El vídeo presenta algunas de sus utilidades: Medición del tiempo con la técnica del Carbono 14, intensidad de los terremotos, brillo de las estrellas... y hay muchas más que no aparecen en el vídeo: Cálculo del PH, fórmulas del interés compuesto, transformar productos en sumas, los decibelios midiendo la intensidad del sonido, etc.
En el siguiente video, verás una explicación de su definición con muchos ejercicios resueltos y también algunas operaciones elementales que podemos realizar con ellos.
En el siguiente video se presenta la definición de la probabilidad mediante la Regla de Laplace y se realiza una exposición de sus propiedades más importantes.
Se resuelven varios ejercicios prácticos de cálculo de probabilidades de sucesos, de la unión de dos sucesos y de la intersección de dos sucesos.
Y, como siempre, aprovecharemos el tiempo de clase para resolver ejercicios y problemas.
Se presenta en el siguiente video, la Distribución Normal Tipificada o Reducida N(0,1) (que será la que manejaremos en clase mediante una Tabla) mostrando sus características y aprenderás a calcular un valor de probabilidad usando la Tabla de dicha distribución. Se explica el proceso de tipificación de la variable aleatoria y se completa con un ejemplo sencillo para comprender mejor el proceso y su significado.
En estos otros videos, podrás ver cómo calcular probabilidades de nuestra variable aleatoria que, sigue una distribución normal, realizando unos casos prácticos donde se pone de manifiesto los conceptos visto en videos anteriores.
Comenzamos el estudio de la Distribución Normal de Probabilidades, estudiando la función de Gauss (campana de Gauss) y sus características mas notables así como los conceptos que debemos tener claros para poder entender los problemas con posterioridad. En el siguiente video, se exponen diversas ideas sobre la distribución normal.
La campana de Gauss es empleada en estadística y probabilidad, y debe su nombre a su descubridor, el matemático, astrónomo y físico alemán Carl Friedrich Gauss.
¿Te gustaría saber qué es la campana de Gauss?
La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. El punto máximo de la curva corresponde a la media, y tiene dos puntos de inflexión a ambos lados.
¿Para qué se utiliza la campana de Gauss?
Este gráfico se usa en variables asociadas a fenómenos naturales: caracteres morfológicos de individuos como la estatura o el peso, caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco, caracteres sociológicos como el consumo de un determinado producto por un mismo grupo de individuos, caracteres psicológicos como el cociente intelectual…
Podrás analizar la descripción y características notables de la variable aleatoria normal.
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A B se lee como "A o B"
Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
Propiedades de la unión de sucesos
Conmutativa:
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
INTERSECCIÓN DE SUCESOS
La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
A B se lee como "A y B"
Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {3}
Propiedades de la intersección de sucesos
Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
DIFERENCIA DE SUCESOS
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
A − B se lee como "A menos B"
Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
Propiedad de la diferencia de sucesos
SUCESOS CONTRARIOS
El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .
A = {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}
Propiedades de los sucesos contrarios
En el siguiente video podrás ver una estupenda explicación que incluye algunos ejemplos.
) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos).
), y es un subconjunto de los denominados Números Reales (
).
B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A 
B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A 
= E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
