Los Logaritmos

 

Uno de los conceptos más difíciles de entender en las matemáticas estudiantiles actuales es el concepto de logaritmo. Esta dificultad se acrecienta cuando lo único que se enseña de los logaritmos es "pura algorítmica de cálculo" sin mucha noción de comprensión.

Por otro lado, el avance para el cálculo y para la ciencia que supuso "la estrategia de los logaritmos", ha dejado de tener sentido desde que llegaron a nuestras manos las calculadoras.

Porque:

* Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a números muy grandes o, números con muchos decimales.

* "El logaritmo" transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y una raíz en una división sencilla.

* Se usaban tablas que permitía obtener el logaritmo de cada número con una buena aproximación y, el proceso inverso, es decir, sabiendo el logaritmo, determinar el número al que le correspondía.

Para aclarar bien algunas de las ideas con las que trabajaremos en clase, les presento dos videos.

En este primer video, aunque se realizan algunas operaciones con los logaritmos, nos da una idea de para qué sirven los logaritmos. El vídeo presenta algunas de sus utilidades: Medición del tiempo con la técnica del Carbono 14, intensidad de los terremotos, brillo de las estrellas... y hay muchas más que no aparecen en el vídeo: Cálculo del PH, fórmulas del interés compuesto, transformar productos en sumas, los decibelios midiendo la intensidad del sonido, etc.

En el siguiente video, verás una explicación de su definición con muchos ejercicios resueltos y también algunas operaciones elementales que podemos realizar con ellos.

Calculo de la Probabilidad de Sucesos. Regla de Laplace para calcular Probabilidades

En el siguiente video se presenta la definición de la probabilidad mediante la Regla de Laplace y se realiza una exposición de sus propiedades más importantes.

Se resuelven varios ejercicios prácticos de cálculo de probabilidades de sucesos, de la unión de dos sucesos y de la intersección de dos sucesos.

Y, como siempre, aprovecharemos el tiempo de clase para resolver ejercicios y problemas.

Distribución Normal Tipificada N(0,1) con algunos ejemplos

Se presenta en el siguiente video, la Distribución Normal Tipificada o Reducida N(0,1) (que será la que manejaremos en clase mediante una Tabla) mostrando sus características y aprenderás a calcular un valor de probabilidad usando la Tabla de dicha distribución. Se explica el proceso de tipificación de la variable aleatoria y se completa con un ejemplo sencillo para comprender mejor el proceso y su significado.

En estos otros videos, podrás ver cómo calcular probabilidades de nuestra variable aleatoria que, sigue una distribución normal, realizando unos casos prácticos donde se pone de manifiesto los conceptos visto en videos anteriores.

La Variable Aleatoria Normal

Comenzamos el estudio de la Distribución Normal de Probabilidades, estudiando la función de Gauss (campana de Gauss) y sus características mas notables así como los conceptos que debemos tener claros para poder entender los problemas con posterioridad.
En el siguiente video, se exponen diversas ideas sobre la distribución normal.

La campana de Gauss es empleada en estadística y probabilidad, y debe su nombre a su descubridor, el matemático, astrónomo y físico alemán Carl Friedrich Gauss.

¿Te gustaría saber qué es la campana de Gauss?

La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. El punto máximo de la curva corresponde a la media, y tiene dos puntos de inflexión a ambos lados.

¿Para qué se utiliza la campana de Gauss?

Este gráfico se usa en variables asociadas a fenómenos naturales: caracteres morfológicos de individuos como la estatura o el peso, caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco, caracteres sociológicos como el consumo de un determinado producto por un mismo grupo de individuos, caracteres psicológicos como el cociente intelectual…

Podrás analizar la descripción y características notables de la variable aleatoria normal.

Unión, Intersección, Diferencia, Contrarios...

UNIÓN DE SUCESOS

La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. 

A B se lee como "A o B"

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}

Propiedades de la unión de sucesos

Conmutativa:

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

INTERSECCIÓN DE SUCESOS

La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B"

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {3}

Propiedades de la intersección de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

DIFERENCIA DE SUCESOS

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B"

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Propiedad de la diferencia de sucesos

SUCESOS CONTRARIOS

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .

A = {2, 4, 6}

= {1, 3, 5}

Propiedades de los sucesos contrarios

En el siguiente video podrás ver una estupenda explicación que incluye algunos ejemplos.

Probabilidad de Sucesos

Un Suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Por ejemplo:

• Al lanzar una moneda salga cara.
• Al lanzar un dado se obtenga 4.

Los sucesos se representan por letras mayúsculas y entre llaves.

Suceso elemental: Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo, al tirar un dado un suceso elemental es "sacar 5".

Suceso compuesto: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, al tirar un dado un suceso sería "salir par", otro, "obtener múltiplo de 3".

Suceso seguro: Se representa por la letra "E", está formado por todos los posibles resultados (es decir, lo que se denomina, el espacio muestral). Por ejemplo, al tirar un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. 

Suceso imposible: Se representa por, , es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo, al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. 

Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Veámoslo con un ejemplo. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Veámoslo también con un ejemplo. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Por ejemplo, al lanzar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Por ejemplo, al extraer dos cartas de una baraja, sin reemplazamiento, son sucesos dependientes.

Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por . Por ejemplo, son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

En el siguiente video, se te pueden aclarar y profundizar en el uso de los sucesos y diferentes tipos de sucesos.

La Probabilidad

La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso podría definirse como la proporción de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese un experimento o una observación en un número grande de ocasiones bajo condiciones similares.

Por definición, entonces, la probabilidad se mide por un número entre cero y uno: si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes.

En el siguiente video, de forma amena, podrás introducirte en el mundo de la probabilidad.

Reforzando los conceptos y procedimientos matemáticos

Las matemáticas configuran actitudes y valores en todos los estudiantes pues garantizan una solidez en sus fundamentos, seguridad en los procedimientos y confianza en los resultados obtenidos. Todo esto crea, sin tener conciencia de ello, una disposición consciente y favorable para emprender acciones que conducen a la solución de los problemas a los que se enfrentan cada día.

A su vez, las matemáticas contribuyen a la formación de valores en los alumnos y alumnas, determinando sus actitudes y su conducta, y sirviendo como patrones para guiar su vida, como son, un estilo de enfrentarse a la realidad lógico y coherente, la búsqueda de la exactitud en los resultados, una comprensión y expresión clara a través de la utilización de símbolos, capacidad de abstracción, razonamiento y generalización y la percepción de la creatividad como un valor.

Desde que comenzamos el curso hemos visto algunos conceptos y procedimientos, algunos nuevos y otros conocidos, que son necesario reforzar para aumentar la confianza en nuestro conocimiento matemático. Por esa razón, aquí les dejo unos enlaces con algunas actividades para mejorar, profundizar, ampliar o reforzar todo lo aprendido hasta hoy.

Para 3º de ESO:

Para 4º de ESO:

Para 1º de Bachillerato:

Para 2º de Bachillerato: